与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の7つの式について、分母に根号を含まない形に変形します。 (1) $\frac{2}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{9}{2\sqrt{6}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$ (5) $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$ (6) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ (7) $\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の7つの式について、分母に根号を含まない形に変形します。

(1) $\frac{2}{\sqrt{5}}$

(2) $\frac{9}{2\sqrt{6}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$

(5) $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$

(6) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$

(7) $\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母と分子に適切な値をかけます。

(1) $\frac{2}{\sqrt{5}}$ の場合

分母が$\sqrt{5}$なので、分母と分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{9}{2\sqrt{6}}$ の場合

分母が$2\sqrt{6}$なので、分母と分子に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{9}{2\sqrt{6}} = \frac{9 \times \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{9\sqrt{6}}{2 \times 6} = \frac{9\sqrt{6}}{12} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$ の場合

分母が$\sqrt{6}+\sqrt{3}$なので、分母と分子に$\sqrt{6}-\sqrt{3}$をかけます。（和と差の積を利用）

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{6}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6-3} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}$

(5) $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$ の場合

分母が$\sqrt{6}+2$なので、分母と分子に$\sqrt{6}-2$をかけます。（和と差の積を利用）

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2} = \frac{2\sqrt{2} \times (\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2) \times (\sqrt{6}-2)} = \frac{2\sqrt{12}-4\sqrt{2}}{6-4} = \frac{2 \times 2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

(6) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ の場合

分母が$\sqrt{7}-\sqrt{3}$なので、分母と分子に$\sqrt{7}+\sqrt{3}$をかけます。（和と差の積を利用）

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}{7-3} = \frac{7 + 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

(7) $\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}$ の場合

分母が$3+2\sqrt{2}$なので、分母と分子に$3-2\sqrt{2}$をかけます。（和と差の積を利用）

$\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{(3-2\sqrt{2}) \times (3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2}) \times (3-2\sqrt{2})} = \frac{(3-2\sqrt{2})^2}{9-8} = \frac{9 - 12\sqrt{2} + 8}{1} = 17 - 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{3\sqrt{6}}{4}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}$

(5) $2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

(6) $\frac{5+\sqrt{21}}{2}$

(7) $17 - 12\sqrt{2}$