次の関数のグラフを描け。 $y = \cos 2x + 2 \cos x$

1. 問題の内容

次の関数のグラフを描け。

$y = \cos 2x + 2 \cos x$

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を使って、与えられた関数を $\cos x$ の関数として書き換えます。

$y = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x$

次に、$t = \cos x$ と置くと、関数は

$y = 2t^2 + 2t - 1$

となります。これは $t$ の二次関数なので、平方完成して頂点を求めます。

$y = 2(t^2 + t) - 1 = 2(t^2 + t + \frac{1}{4}) - 2(\frac{1}{4}) - 1 = 2(t+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1 = 2(t+\frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ です。

$t = \cos x$ であることを考慮すると、$-1 \le t \le 1$ です。

$t=-1$ のとき $y = 2(-1)^2+2(-1)-1 = 2-2-1 = -1$

$t=1$ のとき $y = 2(1)^2+2(1)-1 = 2+2-1 = 3$

グラフを描く際の重要な点は以下の通りです。

- $x=0$ のとき、$t=\cos 0 = 1$ なので $y=3$

- $\cos x = -1/2$ のとき、$y = -3/2$. $x=2\pi/3, 4\pi/3$

- $\cos x = -1$ のとき、$x=\pi$ なので $y=-1$

周期は $2\pi$ です。$0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲でグラフを描き、$2\pi$ ごとに繰り返せばよいです。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。

$y = \cos 2x + 2 \cos x$ のグラフは、$\cos x$ のグラフを変形したもので、周期は $2\pi$ であり、$-1 \le \cos x \le 1$ の範囲で変化します。$\cos x = -1/2$ のとき、$y=-3/2$, $\cos x = 1$のとき、$y=3$, $\cos x = -1$のとき、$y=-1$となることに注意してグラフを描きます。