定数 $a$ が与えられたとき、定義域 $0 \le x \le 6$ における関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、定義域 $0 \le x \le 6$ における関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$f(x) = -3(x^2 - 2ax) + 2a + 1$

$f(x) = -3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a + 1$

$f(x) = -3(x-a)^2 + 3a^2 + 2a + 1$

この関数のグラフは上に凸の放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 6$ です。

最大値を求めるには、軸 $x=a$ が定義域 $0 \le x \le 6$ のどこにあるかで場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき、定義域内で $f(x)$ は単調減少なので、$x=0$ で最大値をとります。

$f(0) = -3(0)^2 + 6a(0) + 2a + 1 = 2a + 1$

(ii) $0 \le a \le 6$ のとき、頂点が定義域内にあるので、$x=a$ で最大値をとります。

$f(a) = -3(a-a)^2 + 3a^2 + 2a + 1 = 3a^2 + 2a + 1$

(iii) $a > 6$ のとき、定義域内で $f(x)$ は単調増加なので、$x=6$ で最大値をとります。

$f(6) = -3(6)^2 + 6a(6) + 2a + 1 = -3(36) + 36a + 2a + 1 = -108 + 38a + 1 = 38a - 107$

したがって、最大値は

$a < 0$ のとき、$2a+1$

$0 \le a \le 6$ のとき、$3a^2+2a+1$

$a > 6$ のとき、$38a - 107$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最大値は $2a + 1$

$0 \le a \le 6$ のとき、最大値は $3a^2 + 2a + 1$

$a > 6$ のとき、最大値は $38a - 107$