関数 $y = x^2 - 2x - 1$ について、与えられたそれぞれの定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の6つです。 (i) すべての数 (ii) $-1 \le x \le 0$ (iii) $2 \le x \le 3$ (iv) $0 \le x \le 2$ (v) $-1 < x < 2$ (vi) $3 < x < 4$

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x - 1$ について、与えられたそれぞれの定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の6つです。

(i) すべての数

(ii) $-1 \le x \le 0$

(iii) $2 \le x \le 3$

(iv) $0 \le x \le 2$

(v) $-1 < x < 2$

(vi) $3 < x < 4$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 2x - 1$ を平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 2$

このグラフは、頂点が $(1, -2)$ の下に凸な放物線です。

(i) すべての数

この場合、最大値は存在しません。最小値は $x = 1$ のとき $y = -2$ です。

(ii) $-1 \le x \le 0$

この範囲では、$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$、

$x = 0$ のとき $y = 0^2 - 2(0) - 1 = -1$ です。

頂点は範囲外なので、最大値は $2$ ($x = -1$)、最小値は $-1$ ($x = 0$)です。

(iii) $2 \le x \le 3$

この範囲では、$x = 2$ のとき $y = 2^2 - 2(2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$、

$x = 3$ のとき $y = 3^2 - 2(3) - 1 = 9 - 6 - 1 = 2$ です。

頂点は範囲外なので、最大値は $2$ ($x = 3$)、最小値は $-1$ ($x = 2$)です。

(iv) $0 \le x \le 2$

この範囲では、$x = 0$ のとき $y = -1$、

$x = 2$ のとき $y = -1$ です。

頂点 $x = 1$ は範囲内にあり、$y = -2$ です。

最大値は $-1$ ($x = 0, 2$)、最小値は $-2$ ($x = 1$)です。

(v) $-1 < x < 2$

この範囲では、$x = 1$ のとき $y = -2$ です。

$x$ が $-1$ に近づくと $y$ は $2$ に近づき、$x$ が $2$ に近づくと $y$ は $-1$ に近づきます。

したがって、最大値は存在せず、最小値は $-2$ ($x = 1$)です。

(vi) $3 < x < 4$

この範囲では、$x$ が $3$ に近づくと $y$ は $2$ に近づき、$x$ が $4$ に近づくと $y$ は $4^2 - 2(4) - 1 = 16 - 8 - 1 = 7$ に近づきます。

したがって、最大値は存在せず、最小値も存在しません。

3. 最終的な答え

(i) 最大値: なし, 最小値: -2

(ii) 最大値: 2, 最小値: -1

(iii) 最大値: 2, 最小値: -1

(iv) 最大値: -1, 最小値: -2

(v) 最大値: なし, 最小値: -2

(vi) 最大値: なし, 最小値: なし