放物線 $C: y=x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ (ただし $0 < a \leq 1$) における接線を $l$ とする。 (1) 接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 直線 $x=0$, $x=1$, 放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる部分で，$y \geq 0$ を満たす部分の面積 $S(a)$ を求める。 (3) $S(a)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y=x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ (ただし $0 < a \leq 1$) における接線を $l$ とする。

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 直線 $x=0$, $x=1$, 放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる部分で，$y \geq 0$ を満たす部分の面積 $S(a)$ を求める。

(3) $S(a)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C: y = x^2$ を微分すると、$y' = 2x$ となる。点 $(a, a^2)$ における接線の傾きは $2a$ なので、接線 $l$ の方程式は、

$y - a^2 = 2a(x - a)$

$y = 2ax - 2a^2 + a^2$

$y = 2ax - a^2$

(2) 面積 $S(a)$ は、$\int_0^1 x^2 dx$ から、接線とx=0とx=1で囲まれた面積を引いたものである。

接線とx=0とx=1で囲まれた面積は台形の面積である。x=0のときy=-a^2であり、x=1のときy=2a-a^2である。x軸より下の部分があるので絶対値を取る必要がある。

よって、

$S(a) = \int_0^1 x^2 dx - \int_0^1 (2ax - a^2) dx$

$S(a) = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 - \left[ax^2 - a^2x\right]_0^1$

$S(a) = \frac{1}{3} - (a - a^2)$

$S(a) = a^2 - a + \frac{1}{3}$

(3) $S(a) = a^2 - a + \frac{1}{3}$ を平方完成する。

$S(a) = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

$S(a) = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{12}$

$0 < a \leq 1$ なので、$a = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{12}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2ax - a^2$

(2) $S(a) = a^2 - a + \frac{1}{3}$

(3) $\frac{1}{12}$