$k$を定数とする。座標平面上の直線 $(3k+1)x - (2k+4)y - 10k + 10 = 0$ が、$k$の値に関わらず通る定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。座標平面上の直線 $(3k+1)x - (2k+4)y - 10k + 10 = 0$ が、$k$の値に関わらず通る定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

直線の方程式を $k$ について整理すると、

$$(3x-2y-10)k + (x-4y+10) = 0$$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、次の2つの式が同時に成り立つ必要がある。

$$3x - 2y - 10 = 0$$

$$x - 4y + 10 = 0$$

この連立方程式を解く。

第2の式より $x = 4y - 10$ であるから、これを第1の式に代入すると、

$$3(4y - 10) - 2y - 10 = 0$$

$$12y - 30 - 2y - 10 = 0$$

$$10y = 40$$

$$y = 4$$

これを $x = 4y - 10$ に代入すると、

$$x = 4(4) - 10 = 16 - 10 = 6$$

よって、定点の座標は $(6, 4)$ である。

3. 最終的な答え

(6, 4)