$(2x^2 + 3)^6$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x^2 + 3)^6$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を求めます。

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開式の一般項は $nCr a^{n-r} b^r$ で表されます。

この問題では、$a = 2x^2$, $b = 3$, $n = 6$ なので、一般項は

$6Cr (2x^2)^{6-r} 3^r = 6Cr 2^{6-r} x^{2(6-r)} 3^r = 6Cr 2^{6-r} 3^r x^{12-2r}$

$x^6$ の項の係数を求めるので、$12-2r = 6$ となる $r$ を求めます。

$12 - 2r = 6$ を解くと、$2r = 6$ より $r = 3$ となります。

したがって、$x^6$ の項は $6C3 2^{6-3} 3^3 x^6$ であり、係数は $6C3 2^3 3^3$ となります。

$6C3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ なので、

係数は $20 \times 2^3 \times 3^3 = 20 \times 8 \times 27 = 160 \times 27 = 4320$ となります。

3. 最終的な答え

4320