関数 $y = \cos 2x + 2 \cos x$ のグラフについて考える問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2x + 2 \cos x$ のグラフについて考える問題です。

2. 解き方の手順

この関数を解析してグラフの概形を把握します。

まず、2倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を使って関数を変形します。

$y = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x$

$y = 2\cos^2 x + 2\cos x - 1$

ここで、$t = \cos x$ と置くと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$y = 2t^2 + 2t - 1$

となります。これは $t$ に関する二次関数です。

平方完成すると、

$y = 2(t^2 + t) - 1$

$y = 2(t^2 + t + \frac{1}{4}) - 1 - \frac{1}{2}$

$y = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

この二次関数は、$t = -\frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{3}{2}$ を取ります。

$t = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 3$

$t = -1$ のとき、$y = 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = -1$

$t = \cos x$ であったので、$\cos x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -\frac{3}{2}$ となります。

$\cos x = 1$ のとき、$x = 2n\pi$ (nは整数) で $y = 3$ (最大値)

$\cos x = -1$ のとき、$x = (2n+1)\pi$ (nは整数) で $y = -1$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数) で、$y = -\frac{3}{2}$ (最小値)

グラフは周期 $2\pi$ を持ち、

$x=0$で最大値 $y=3$

$x=\pi$で $y=-1$

$x=\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$で $y = -\frac{3}{2}$ をとります。

3. 最終的な答え

関数 $y = \cos 2x + 2 \cos x$ のグラフの概形は、周期 $2\pi$ を持ち、

最大値は $y = 3$ ($x = 2n\pi$),

最小値は $y = -\frac{3}{2}$ ($x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$)

です。