位置ベクトル $\vec{r} = (x_0 + \alpha t, y_0, z_0 + \beta t - \frac{g}{2}t^2)$ が与えられたとき、$\frac{d\vec{r}}{dt}$ と $\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ を求め、この運動がどのような運動を表すか答える。

1. 問題の内容

位置ベクトル $\vec{r} = (x_0 + \alpha t, y_0, z_0 + \beta t - \frac{g}{2}t^2)$ が与えられたとき、$\frac{d\vec{r}}{dt}$ と $\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ を求め、この運動がどのような運動を表すか答える。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{d\vec{r}}{dt}$ を計算する。これは速度ベクトル $\vec{v}$ に相当する。

$\frac{d\vec{r}}{dt} = (\frac{d}{dt}(x_0 + \alpha t), \frac{d}{dt}(y_0), \frac{d}{dt}(z_0 + \beta t - \frac{g}{2}t^2))$

それぞれの成分を微分すると、

$\frac{d}{dt}(x_0 + \alpha t) = \alpha$

$\frac{d}{dt}(y_0) = 0$

$\frac{d}{dt}(z_0 + \beta t - \frac{g}{2}t^2) = \beta - gt$

したがって、速度ベクトル $\vec{v}$ は

$\vec{v} = (\alpha, 0, \beta - gt)$

次に、$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ を計算する。これは加速度ベクトル $\vec{a}$ に相当する。

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (\frac{d}{dt}\alpha, \frac{d}{dt}0, \frac{d}{dt}(\beta - gt))$

それぞれの成分を微分すると、

$\frac{d}{dt}\alpha = 0$

$\frac{d}{dt}0 = 0$

$\frac{d}{dt}(\beta - gt) = -g$

したがって、加速度ベクトル $\vec{a}$ は

$\vec{a} = (0, 0, -g)$

加速度が一定であり、特に $z$ 軸方向に $-g$ であることから、この運動は等加速度運動であり、特に $z$ 軸方向には重力加速度 $g$ の影響下にある自由落下運動の要素を含んでいることがわかる。$x$軸方向には等速運動である。

3. 最終的な答え

$\frac{d\vec{r}}{dt} = (\alpha, 0, \beta - gt)$

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (0, 0, -g)$

この運動は、$x$軸方向に等速運動、$z$軸方向に重力加速度 $g$ の影響下にある等加速度運動（放物運動）である。