2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ (これを $G_1$ とする)と $y = x^2 + 2ax + b$ (これを $G_2$ とする) が与えられています。$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるという条件の下で、$b$ を $a$ で表し、$G_2$ の頂点の座標を $a$ で表します。その後、$G_2$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求め、$G_2$ の軸、$G_2$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求めます。最後に、$G_2$ が点 (0, 5) を通る場合の $a$ の値を求め、$G_2$ を平行移動して頂点が $G_1$ 上にある条件を満たすようにします。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ (これを $G_1$ とする)と $y = x^2 + 2ax + b$ (これを $G_2$ とする) が与えられています。$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるという条件の下で、$b$ を $a$ で表し、$G_2$ の頂点の座標を $a$ で表します。その後、$G_2$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求め、$G_2$ の軸、$G_2$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求めます。最後に、$G_2$ が点 (0, 5) を通る場合の $a$ の値を求め、$G_2$ を平行移動して頂点が $G_1$ 上にある条件を満たすようにします。

2. 解き方の手順

まず、$G_2$ の式を平方完成します。

$y = x^2 + 2ax + b = (x + a)^2 - a^2 + b$

したがって、$G_2$ の頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ です。

$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるので、頂点の座標を $G_1$ の式に代入します。

$-a^2 + b = 3(-a)^2 - 2(-a) - 1$

$-a^2 + b = 3a^2 + 2a - 1$

$b = 4a^2 + 2a - 1$

よって、$G_2$ の頂点の座標は $(-a, -a^2 + 4a^2 + 2a - 1) = (-a, 3a^2 + 2a - 1)$ となります。

(1) $G_2$ の頂点の $y$ 座標は $3a^2 + 2a - 1$ です。これを平方完成します。

$3a^2 + 2a - 1 = 3(a^2 + \frac{2}{3}a) - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{9}) - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

したがって、$G_2$ の頂点の $y$ 座標は $a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$ をとります。

$a = -\frac{1}{3}$ のとき、$G_2$ の軸は直線 $x = -a = \frac{1}{3}$ です。

$y = x^2 + 2ax + b$ に $a = -\frac{1}{3}$, $b = 4a^2 + 2a - 1 = 4(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} - 1 = \frac{4}{9} - \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{11}{9}$ を代入すると、$y = x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{11}{9}$ となります。

$x$ 軸との交点は、$y = 0$ とおいたときの $x$ の解なので、$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{11}{9} = 0$ を解きます。

$9x^2 - 6x - 11 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 396}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{432}}{18} = \frac{6 \pm 12\sqrt{3}}{18} = \frac{1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$

$x$ 座標は $\frac{1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$ です。

(2) $G_2$ が点 (0, 5) を通るとき、$y = x^2 + 2ax + b$ に (0, 5) を代入すると、$5 = 0^2 + 2a(0) + b$ より $b = 5$ です。

$b = 4a^2 + 2a - 1$ なので、$5 = 4a^2 + 2a - 1$ より $4a^2 + 2a - 6 = 0$, $2a^2 + a - 3 = 0$

$(2a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{3}{2}$

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、$G_2$ は $y = x^2 - 3x + 5$ です。

$G_2$ の頂点の $x$ 座標は $-a = \frac{3}{2}$ です。

$G_1$ の $x$ 座標を $\frac{3}{2}$ とすると、$y = 3(\frac{3}{2})^2 - 2(\frac{3}{2}) - 1 = \frac{27}{4} - 3 - 1 = \frac{27}{4} - \frac{16}{4} = \frac{11}{4}$ です。

よって、$G_2$ を $x$ 軸方向に $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$、$y$ 軸方向に $\frac{11}{4} - (3(\frac{3}{2})^2 + 2(-\frac{3}{2}) - 1) = \frac{11}{4} - (\frac{27}{4} - 3 - 1) = \frac{11}{4} - \frac{11}{4} = 0$ だけ平行移動しても頂点は $G_1$ 上にある

3. 最終的な答え

$b = 4a^2 + 2a - 1$

頂点の座標は $(-a, 3a^2 + 2a - 1)$

(1) $a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$

$a = -\frac{1}{3}$ のとき、$G_2$ の軸は直線 $x = \frac{1}{3}$

$x$ 座標は $\frac{1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$

(2) $a = 1, -\frac{3}{2}$

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、$x$軸方向に 0 , $y$軸方向に 0