2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ と $y = x^2 + 2ax + b$ が与えられている。それぞれのグラフを $G_1$, $G_2$ とする。$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるという条件の下で、以下の問いに答える。 (1) $G_2$ の頂点のy座標の最小値を求め、$G_2$ の軸の方程式、$G_2$ とx軸との交点のx座標を求める。 (2) $G_2$ が点(0, 5)を通るとき、$a$ の値を求め、$G_2$ を平行移動しても頂点が $G_1$ 上にある条件を満たす $a$ の値と移動量を求める。 また、2次関数の条件を満たす放物線について、以下の問いに答える。 (1) 頂点が点(-1,3)で、点(-2,7)を通る。 (2) 3点(-1,-6), (1,-2), (3,10)を通る。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ と $y = x^2 + 2ax + b$ が与えられている。それぞれのグラフを $G_1$, $G_2$ とする。$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるという条件の下で、以下の問いに答える。

(1) $G_2$ の頂点のy座標の最小値を求め、$G_2$ の軸の方程式、$G_2$ とx軸との交点のx座標を求める。

(2) $G_2$ が点(0, 5)を通るとき、$a$ の値を求め、$G_2$ を平行移動しても頂点が $G_1$ 上にある条件を満たす $a$ の値と移動量を求める。

また、2次関数の条件を満たす放物線について、以下の問いに答える。

(1) 頂点が点(-1,3)で、点(-2,7)を通る。

(2) 3点(-1,-6), (1,-2), (3,10)を通る。

2. 解き方の手順

まず、$G_2$ の式を平方完成させ、$G_2$ の頂点の座標を求める。

$y = x^2 + 2ax + b = (x + a)^2 - a^2 + b$

よって、$G_2$ の頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ である。

問題文より、$G_2$ の頂点は $G_1$ 上にあるから、$-a^2 + b = 3(-a)^2 - 2(-a) - 1$ が成り立つ。

これを整理すると、 $-a^2 + b = 3a^2 + 2a - 1$ より、 $b = 4a^2 + 2a - 1$ となる。

したがって、$G_2$ の頂点の座標は $(-a, -a^2 + 4a^2 + 2a - 1) = (-a, 3a^2 + 2a - 1)$ である。

(1) $G_2$ の頂点のy座標は $3a^2 + 2a - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

したがって、y座標は $a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$ をとる。

$a = \frac{-1}{3}$のとき、$G_2$ の軸は直線 $x = -a = \frac{1}{3}$である。

$G_2$ とx軸との交点のx座標は、$x^2 + 2ax + b = 0$ を解けばよい。

$x^2 + 2ax + b = x^2 - \frac{2}{3}x + 4(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} - 1 = x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{17}{9} = 0$

$9x^2 - 6x - 17 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4(9)(17)}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 612}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{648}}{18} = \frac{6 \pm 18\sqrt{2}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{3}$

(2) $G_2$ が点(0, 5)を通るとき、$y = x^2 + 2ax + b$ に (0, 5) を代入すると、$5 = 0 + 0 + b$ より、$b = 5$

$b = 4a^2 + 2a - 1$ より、$5 = 4a^2 + 2a - 1$

$4a^2 + 2a - 6 = 0$

$2a^2 + a - 3 = 0$

$(2a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{3}{2}$

$a = 1$ のとき、$G_2$ をx軸方向に $p$, y軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = (x - p)^2 + 2(x - p)a + b + q$となり、頂点が $G_1$ 上にある条件を満たすとする。

3. 最終的な答え

b = 4a^2 + 2a - 1

G_2 の頂点の座標は (-a, 3a^2 + 2a - 1)

(1)

G_2 の頂点のy座標は、a = -1/3 のとき、最小値 -4/3 をとる。

a = -1/3 のとき、G_2 の軸は直線 x = 1/3 であり、G_2 と x軸との交点の x座標は (1 ± √2)/3 である。

(2)

G_2 が点 (0, 5) を通るとき、a = 1 または a = -3/2 である。