微分方程式 $3y' - 4y = -3y^4e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を満たす解を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

微分方程式 $3y' - 4y = -3y^4e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を満たす解を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を解きます。

$3y' - 4y = -3y^4e^{-4x}$

両辺を $3y^4$ で割ると、

$\frac{1}{y^4}y' - \frac{4}{3y^3} = -e^{-4x}$

ここで $u = \frac{1}{y^3}$ とおくと、

$u' = -\frac{3}{y^4}y'$

よって、 $-\frac{1}{3}u' - \frac{4}{3}u = -e^{-4x}$

両辺に -3をかけると、

$u' + 4u = 3e^{-4x}$

この線形微分方程式を解きます。積分因子は $e^{\int 4 dx} = e^{4x}$ です。

両辺に $e^{4x}$ をかけると、

$e^{4x}u' + 4e^{4x}u = 3$

$\frac{d}{dx}(e^{4x}u) = 3$

両辺を積分して、

$e^{4x}u = 3x + C$

$u = (3x+C)e^{-4x}$

ここで、$u = \frac{1}{y^3}$ でしたので、

$\frac{1}{y^3} = (3x+C)e^{-4x}$

$y^{-3} = (3x+C)e^{-4x}$

初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を代入すると、

$1^{-3} = (3(0)+C)e^{-4(0)}$

$1 = C \cdot 1$

$C = 1$

したがって、解は

$y^{-3} = (3x+1)e^{-4x}$

3. 最終的な答え

2. $y^{-3} = (3x + 1)e^{-4x}$