2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ と $y = x^2 + 2ax + b$ があり、それぞれのグラフを $G_1$、$G_2$ とする。$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるとき、以下の問いに答えよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ と $y = x^2 + 2ax + b$ があり、それぞれのグラフを $G_1$、$G_2$ とする。$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるとき、以下の問いに答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$G_2$ の式を平方完成する。

$y = x^2 + 2ax + b = (x + a)^2 - a^2 + b$

よって、$G_2$ の頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ となる。

$G_2$ の頂点が $G_1$ 上にあるので、

$-a^2 + b = 3(-a)^2 - 2(-a) - 1 = 3a^2 + 2a - 1$

したがって、$b = 4a^2 + 2a - 1$。

$G_2$ の頂点の座標は $(-a, -a^2 + 4a^2 + 2a - 1) = (-a, 3a^2 + 2a - 1)$

(1) $G_2$ の頂点の $y$ 座標 $3a^2 + 2a - 1$ の最小値を求める。

$3a^2 + 2a - 1 = 3(a^2 + \frac{2}{3}a) - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

よって、$a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$ をとる。

$a = -\frac{1}{3}$ のとき、$G_2$ の軸は直線 $x = \frac{1}{3}$ である。

$G_2$ は $y = x^2 - \frac{2}{3}x + (4(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} - 1) = x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{11}{9}$

$G_2$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{11}{9} = 0$ を解いて、

$9x^2 - 6x - 11 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 396}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{432}}{18} = \frac{6 \pm 12\sqrt{3}}{18} = \frac{1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$

(2) $G_2$ が点 $(0, 5)$ を通るとき、$5 = 0^2 + 2a(0) + b$ より、$b = 5$。

$b = 4a^2 + 2a - 1$ より、$4a^2 + 2a - 1 = 5$

$4a^2 + 2a - 6 = 0$

$2a^2 + a - 3 = 0$

$(2a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{3}{2}$

$a = 1$ のとき、$G_2$ の式は $y = x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$ であり、頂点は $(-1, 4)$ である。

$G_1$ は $y = 3x^2 - 2x - 1$ であり、$G_1$ 上の点 $(-1, 3 + 2 - 1) = (-1, 4)$ なので、$G_2$ の頂点は $G_1$ 上にある。

したがって、$x$ 軸方向にも $y$ 軸方向にも平行移動する必要はない。すなわち、0だけ平行移動すれば良い。

3. 最終的な答え

* $b = 4a^2 + 2a - 1$

* $G_2$ の頂点の座標: $(-a, 3a^2 + 2a - 1)$

* (1) $a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$

* $a = -\frac{1}{3}$ のとき、$G_2$ の軸は直線 $x = \frac{1}{3}$

* $G_2$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $\frac{1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$

* (2) $G_2$ が点 $(0, 5)$ を通るとき、$a = 1, -\frac{3}{2}$

* $a = 1$ のとき、$x$軸方向に0、$y$軸方向に0だけ平行移動