2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ (G1) と $y = x^2 + 2ax + b$ (G2) があり、G2の頂点がG1上にあるという条件の下で、$b$ を $a$ で表し、G2の頂点の座標を求め、さらにG2に関する様々な条件を満たす場合の$a$ の値を求めたり、移動に関する条件を満たす場合の $a$ の値を求めたりする問題です。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ (G1) と $y = x^2 + 2ax + b$ (G2) があり、G2の頂点がG1上にあるという条件の下で、$b$ を $a$ で表し、G2の頂点の座標を求め、さらにG2に関する様々な条件を満たす場合の$a$ の値を求めたり、移動に関する条件を満たす場合の $a$ の値を求めたりする問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + 2ax + b$ を平方完成します。

$y = (x+a)^2 - a^2 + b$

したがって、G2の頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ です。

G2の頂点がG1上にあるので、$x = -a$, $y = -a^2 + b$ を $y = 3x^2 - 2x - 1$ に代入します。

$-a^2 + b = 3(-a)^2 - 2(-a) - 1$

$-a^2 + b = 3a^2 + 2a - 1$

$b = 4a^2 + 2a - 1$

したがって、G2の頂点の座標は $(-a, -a^2 + 4a^2 + 2a - 1) = (-a, 3a^2 + 2a - 1)$ となります。

(1) G2の頂点のy座標 $3a^2 + 2a - 1$ を平方完成します。

$3a^2 + 2a - 1 = 3(a^2 + \frac{2}{3}a) - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{9}) - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

したがって、$a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$ をとります。

G2の軸は $x = -a$ なので、$a = \frac{1}{2}$ のとき、軸は $x = -\frac{1}{2}$ となります。

$y = x^2 + x + (4(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{2}) - 1) = x^2 + x + 1$

$x^2 + x + 1 = 0$ の解は $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}$ なので、実数解は存在しません。したがって、G2とx軸の交点は存在しません。

(2) G2が点 (0, 5) を通るとき、$y = x^2 + 2ax + b$ に (0, 5) を代入すると $5 = 0 + 0 + b$ なので、$b = 5$

$b = 4a^2 + 2a - 1 = 5$

$4a^2 + 2a - 6 = 0$

$2a^2 + a - 3 = 0$

$(2a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{3}{2}$

$a = 1$ のとき、$y = x^2 + 2x + 5$。頂点は (-1, 4)。

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、$y = x^2 - 3x + 5$。頂点は ($\frac{3}{2}$, $\frac{11}{4}$)。

$a = 1$ のとき、G2をx軸方向に2、y軸方向に同じくkだけ平行移動すると、頂点は (1, 4+k) となる。この点が G1 上にあるので、$4 + k = 3(1)^2 - 2(1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$

$k = -4$

3. 最終的な答え

b = 4a^2 + 2a - 1

頂点 (-a, 3a^2 + 2a - 1)

(1)

頂点のy座標の最小値: a = -1/3 のとき、最小値 -4/3

軸: a = 1/2 のとき、x = -1/2

x軸との交点: なし

(2)

(0, 5) を通るとき: a = 1, -3/2

x軸方向に 2, y軸方向に -4 だけ平行移動しても頂点は G1 上にあるのは a = 1