問1.4：$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$とする。 (1) 次の極限を求める。 (i) $\lim_{x \to +0} x \log x$, (ii) $\lim_{x \to +0} x (\log x)^2$, (iii) $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$. (iii)は極限を予想して数学的帰納法で示す。 (2) $I_{n+1} = -(n+1) I_n$を示す。 (3) $I_0, I_1, I_2$を求める。必要なら(2)の結果を用いる。 (4) $I_n$を求める。数学的帰納法は省略してよい。 問1.5：次の微分を$f$を用いて表す。 (1) $\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt$ (2) $\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt$ 問1.6：次の広義積分が収束するか判定する。 (1) $\int_0^1 \log x dx$ (2) $\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ (3) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}}$

1. 問題の内容

問1.4：$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$とする。

(1) 次の極限を求める。 (i) $\lim_{x \to +0} x \log x$, (ii) $\lim_{x \to +0} x (\log x)^2$, (iii) $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$. (iii)は極限を予想して数学的帰納法で示す。

(2) $I_{n+1} = -(n+1) I_n$を示す。

(3) $I_0, I_1, I_2$を求める。必要なら(2)の結果を用いる。

(4) $I_n$を求める。数学的帰納法は省略してよい。

問1.5：次の微分を$f$を用いて表す。

(1) $\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt$

(2) $\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt$

問1.6：次の広義積分が収束するか判定する。

(1) $\int_0^1 \log x dx$

(2) $\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$

(3) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}}$

2. 解き方の手順

問1.4

(1) (i) $\lim_{x \to +0} x \log x$:

$x = e^{-t}$と置換すると、$x \to +0$のとき$t \to \infty$。

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t) = -\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = 0$ (ロピタルの定理)

(ii) $\lim_{x \to +0} x (\log x)^2$:

$x = e^{-t}$と置換すると、$x \to +0$のとき$t \to \infty$。

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^2 = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t} = 0$ (ロピタルの定理を2回適用)

(iii) $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$と予想する。

$x = e^{-t}$と置換すると、$x \to +0$のとき$t \to \infty$。

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^n = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t}$

$f(n) = \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t}$とおくと、$f(1)=0$である。

$f(n+1) = \lim_{t \to \infty} \frac{t^{n+1}}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{(n+1)t^n}{e^t} = (n+1) f(n)$

$f(n)$は常に0に収束すると考えられる。（ロピタルの定理をn回適用）したがって、$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$

(2) $I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx$

部分積分を行う。

$u = (\log x)^{n+1}$, $dv = dx$とすると、$du = (n+1)(\log x)^n \frac{1}{x} dx$, $v = x$

$I_{n+1} = [x (\log x)^{n+1}]_0^1 - \int_0^1 x (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx$

$= [x (\log x)^{n+1}]_0^1 - (n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx$

ここで、$x \to 1$のとき、$x (\log x)^{n+1} \to 1 \cdot 0 = 0$

$x \to +0$のとき、$x (\log x)^{n+1} \to 0$ ((1)より)

よって、$I_{n+1} = 0 - (n+1) I_n = -(n+1) I_n$

(3)

$I_0 = \int_0^1 (\log x)^0 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1$

$I_1 = \int_0^1 \log x dx$

部分積分を行う。$u = \log x$, $dv = dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$

$I_1 = [x \log x]_0^1 - \int_0^1 x \frac{1}{x} dx = [x \log x]_0^1 - \int_0^1 1 dx = 0 - [x]_0^1 = -1$

$I_2 = -(2+1-1)I_1 = -2I_1 = -2(-1) = 2I_1 = -2 I_1 = -(2)(I_1)=-(2)(-1) = 2 = (-1)^2 * 2!$

$I_2 = -(2) I_1 = -(2) (-1) = 2$

(4) $I_n$を求める。

(2)より、$I_{n+1} = -(n+1) I_n$

$I_0 = 1$

$I_1 = -1 I_0 = -1$

$I_2 = -2 I_1 = (-2)(-1) = 2 = 2!$

$I_3 = -3 I_2 = -3 (2) = -6 = -3!$

$I_n = (-1)^n n!$

問1.5

(1) $\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt$

合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt = f(x^2) \cdot \frac{d}{dx} x^2 = f(x^2) \cdot 2x = 2x f(x^2)$

(2) $\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt$

$\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt = \frac{d}{dx} \left( \int_0^{x+1} f(t) dt - \int_0^x f(t) dt \right)$

$= f(x+1) \cdot 1 - f(x) \cdot 1 = f(x+1) - f(x)$

問1.6

(1) $\int_0^1 \log x dx$

$I_1 = \int_0^1 \log x dx = -1$ (問1.4より)

したがって、収束する。

(2) $\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$

$x \to +0$のとき、$\sin x \approx x$

$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}} \approx \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2 \sqrt{x}]_0^{\pi/2} = 2 \sqrt{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2\pi}$

$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ は収束する。

(3) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}}$

$x \to \infty$のとき、$\sqrt[3]{x^3 + 1} \approx \sqrt[3]{x^3} = x$

$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}} \approx \int_0^\infty \frac{dx}{x}$

$\int_1^\infty \frac{dx}{x} = [\log x]_1^\infty = \infty$

したがって発散する。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^3 + 1}} > \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^3}} = \frac{1}{x+1}$

$\int_0^\infty \frac{dx}{x+1} = [\log (x+1)]_0^\infty = \infty$

したがって発散する。

3. 最終的な答え

問1.4

(1) (i) 0, (ii) 0, (iii) 0

(2) $I_{n+1} = -(n+1) I_n$

(3) $I_0 = 1$, $I_1 = -1$, $I_2 = 2$

(4) $I_n = (-1)^n n!$

問1.5

(1) $2x f(x^2)$

(2) $f(x+1) - f(x)$

問1.6

(1) 収束する

(2) 収束する

(3) 発散する