## 問題の概要

## 問題の概要

与えられた積分 $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ に対して、以下の問題を解きます。

1. 極限 $\lim_{x \to 0^+} x \log x$, $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^2$, $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^n$ を求めます。

2. 漸化式 $I_{n+1} = -(n+1) I_n$ を示します。

3. $I_0, I_1, I_2$ を求めます。

4. $I_n$ を求めます。

## 解き方の手順

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1. 極限を求める

**(i) $\lim_{x \to 0^+} x \log x$**

これは不定形 $0 \cdot (-\infty)$ なので、$x = \frac{1}{t}$ と置換すると、$x \to 0^+$ のとき $t \to \infty$ となります。よって、

$$\lim_{x \to 0^+} x \log x = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t}$$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用すると、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-1/t}{1} = \lim_{t \to \infty} \frac{-1}{t} = 0$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0$$

**(ii) $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^2$**

同様に、$x = \frac{1}{t}$ と置換すると、$x \to 0^+$ のとき $t \to \infty$ となります。よって、

$$\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} (\log \frac{1}{t})^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{(-\log t)^2}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{(\log t)^2}{t}$$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用すると、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{(\log t)^2}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2 (\log t) (1/t)}{1} = \lim_{t \to \infty} \frac{2 \log t}{t}$$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用すると、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{2 \log t}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2 (1/t)}{1} = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} = 0$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^2 = 0$$

**(iii) $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^n$**

$\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^n = 0$ と予想し、数学的帰納法で示す。

* n=1 のとき、(i)より成立

* n=k のとき、$\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^k = 0$ が成立すると仮定する

* n=k+1 のとき、$\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^{k+1} = \lim_{x \to 0^+} x (\log x)^{k} \log x$ を考える。仮定より $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^{k} = 0$ であり、$\lim_{x \to 0^+} \log x = -\infty$ である。しかし、$\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^{k+1}$ を $x = \frac{1}{t}$ と置換して、ロピタルの定理を繰り返し用いることで、0 に収束することが証明できる。

したがって、数学的帰納法により、

$$\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^n = 0$$

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2. 漸化式を示す

部分積分を用いて $I_{n+1}$ を変形します。

$I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx$ において、$u = (\log x)^{n+1}$, $dv = dx$ とすると、$du = (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となるので、

$$I_{n+1} = \left[ x (\log x)^{n+1} \right]_0^1 - \int_0^1 x (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx$$

ここで、$x=1$ のとき $x(\log x)^{n+1} = 0$, $x \to 0^+$ のとき $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^{n+1} = 0$ (1-(iii)の結果) であるから、

$$I_{n+1} = 0 - (n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx = -(n+1) I_n$$

したがって、

$$I_{n+1} = -(n+1) I_n$$

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3. $I_0, I_1, I_2$ を求める

$I_0 = \int_0^1 (\log x)^0 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$

$I_1 = \int_0^1 \log x dx = [x \log x - x]_0^1 = (1 \log 1 - 1) - \lim_{x \to 0^+} (x \log x - x) = (0 - 1) - (0 - 0) = -1$

$I_2 = -(2)I_1 = -(2)(-1) = 2$

したがって、

$I_0 = 1$, $I_1 = -1$, $I_2 = 2$

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4. $I_n$ を求める

漸化式 $I_{n+1} = -(n+1) I_n$ を繰り返し用いると、

$I_n = -n I_{n-1} = (-n) (-(n-1) I_{n-2}) = n(n-1) I_{n-2} = \dots = (-1)^n n! I_0$

$I_0 = 1$ より、

$$I_n = (-1)^n n!$$

## 最終的な答え

1. $\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0$, $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^2 = 0$, $\lim_{x \to 0^+} x (\log x)^n = 0$

2. $I_{n+1} = -(n+1) I_n$

3. $I_0 = 1$, $I_1 = -1$, $I_2 = 2$

4. $I_n = (-1)^n n!$