この問題は、フーリエ級数展開に関する3つの小問から構成されています。 * 5-1: 角周波数 $\omega_0$ の周期関数 $f(t)$ が与えられています。$f(t)$ を $\cos(k\omega_0 t)$ と $\sin(k\omega_0 t)$ で実フーリエ級数展開したときの式と、フーリエ係数 $a_k$, $b_k$ の式を書くこと（$k$ の範囲も記載すること）。 * 5-2: $f(t) = t^2$ が区間 $[-1, 1]$ の周期関数であるとして、この関数の直流成分を求めること。 * 5-3: $f(t) = |\sin t|$ が区間 $[-\pi/2, \pi/2]$ の周期関数であるとして、この関数の基本波の振幅を求めること。

1. 問題の内容

この問題は、フーリエ級数展開に関する3つの小問から構成されています。

* 5-1: 角周波数 $\omega_0$ の周期関数 $f(t)$ が与えられています。$f(t)$ を $\cos(k\omega_0 t)$ と $\sin(k\omega_0 t)$ で実フーリエ級数展開したときの式と、フーリエ係数 $a_k$, $b_k$ の式を書くこと（$k$ の範囲も記載すること）。

* 5-2: $f(t) = t^2$ が区間 $[-1, 1]$ の周期関数であるとして、この関数の直流成分を求めること。

* 5-3: $f(t) = |\sin t|$ が区間 $[-\pi/2, \pi/2]$ の周期関数であるとして、この関数の基本波の振幅を求めること。

2. 解き方の手順

* 5-1

周期 $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$ の周期関数$f(t)$ のフーリエ級数展開は、一般に以下の様に表されます。

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} [a_k \cos(k\omega_0 t) + b_k \sin(k\omega_0 t)]$

ここで、フーリエ係数 $a_k$ と $b_k$ は以下の式で計算されます。

$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(k\omega_0 t) dt$ , $k = 0, 1, 2, ...$

$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(k\omega_0 t) dt$ , $k = 1, 2, 3, ...$

* 5-2

関数 $f(t) = t^2$ の直流成分は、フーリエ級数展開の定数項 $\frac{a_0}{2}$ に相当します。周期 $T = 2$ であり、区間 $[-1, 1]$ で定義されているので、直流成分は以下の様に計算できます。

$\frac{a_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} t^2 dt = \frac{1}{2} [\frac{t^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})) = \frac{1}{2} (\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$

* 5-3

関数 $f(t) = |\sin t|$ の基本波の振幅は、フーリエ級数展開の最初の正弦波成分の係数 $b_1$ に相当します。区間 $[-\pi/2, \pi/2]$ で定義されているので、周期は $T = \pi$ です。$f(t)$ は偶関数なので、$b_k = 0$ となります。ただし、問題は実フーリエ級数の基本波の振幅と述べており、これは $f(t)$ をフーリエ級数展開した場合の $a_1$ を求める事に相当します。$|\sin t|$ は区間 $[-\pi/2, \pi/2]$ で偶関数なので、

$a_1 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |\sin t| \cos(1\omega_0 t) dt = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin t| \cos(2t) dt$

$\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$

$a_1 = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \sin t \cos(2t) dt$

三角関数の積の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$を用いると、

$a_1 = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}(\sin(3t) + \sin(-t)) dt = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} (\sin(3t) - \sin(t)) dt$

$a_1 = \frac{2}{\pi} [-\frac{1}{3} \cos(3t) + \cos(t)]_{0}^{\pi/2} = \frac{2}{\pi} [-\frac{1}{3} \cos(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) - (-\frac{1}{3} \cos(0) + \cos(0))] = \frac{2}{\pi} [0 + 0 - (-\frac{1}{3} + 1)] = \frac{2}{\pi} [-\frac{2}{3}] = -\frac{4}{3\pi}$

ここで、基本波の振幅を聞かれているので、$|a_1| = \frac{4}{3\pi}$ となります。

3. 最終的な答え

* 5-1

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} [a_k \cos(k\omega_0 t) + b_k \sin(k\omega_0 t)]$

$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(k\omega_0 t) dt$ , $k = 0, 1, 2, ...$

$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(k\omega_0 t) dt$ , $k = 1, 2, 3, ...$

* 5-2

$\frac{1}{3}$

* 5-3

$\frac{4}{3\pi}$