与えられた行列 $A$ を LU 分解し、その行列式 $\det(A)$ を求める問題です。行列 $A$ は次のように与えられています。 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ を LU 分解し、その行列式 $\det(A)$ を求める問題です。行列 $A$ は次のように与えられています。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

LU 分解とは、与えられた行列 $A$ を下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ の積で表すことです ($A = LU$)。 ガウスの消去法を用いて $A$ を上三角行列に変形し、その過程で得られる乗数を記録することで $L$ を構成します。

ステップ1：行列 $A$ の1列目について、2行目以降の要素を0にするように行基本変形を行う。

- 2行目に $\frac{1}{2}$倍の1行目を足す：

$A' = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

- 3行目に1行目を足す：

$A'' = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

ここで、 $L$ の1列目は $\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ となります。

ステップ2：行列 $A''$ の2列目について、3行目以降の要素を0にするように行基本変形を行う。

- 3行目に2倍の2行目を足す：

$A''' = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

- 4行目に-2倍の2行目を足す：

$A'''' = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

ここで、$L$ の2列目は $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ となります。

ステップ3：行列 $A''''$ の3列目について、4行目の要素を0にするように行基本変形を行う。

- 4行目に2倍の3行目を足す：

$U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ここで、$L$ の3列目は $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ となります。

下三角行列 $L$ は次のようになります。

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

行列式 $\det(A)$ は、LU分解された行列 $U$ の対角成分の積で計算できます。

$\det(A) = \det(L) \det(U)$

$\det(L) = 1$ (下三角行列の行列式は対角成分の積)

$\det(U) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot 1 \cdot 1 = -1$

したがって、$\det(A) = 1 * (-1) = -1$。

3. 最終的な答え

LU分解:

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, $U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行列式: $\det(A) = -1$