$log_2 \frac{1}{3}$, $2$, $log_2 7$ を値の小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$log_2 \frac{1}{3}$, $2$, $log_2 7$ を値の小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、$2$を底が2の対数で表すと、

$2 = log_2 2^2 = log_2 4$ となります。

次に、対数の性質から、$log_2 \frac{1}{3}$ の値を考えます。

$\frac{1}{3} < 1$ であるので、$log_2 \frac{1}{3} < log_2 1 = 0$ となります。

また、$log_2 4$ と $log_2 7$ については、底が2で1より大きいので、真数の大小関係がそのまま対数の大小関係になります。つまり、$4 < 7$ なので、$log_2 4 < log_2 7$ となります。

したがって、$log_2 \frac{1}{3} < 0$, $log_2 4 = 2$, $log_2 7$ であり、$log_2 \frac{1}{3}$ は負の値なので最も小さく、$log_2 4$ と $log_2 7$ の大小は $log_2 4 < log_2 7$ となります。

よって、$log_2 \frac{1}{3} < log_2 4 < log_2 7$ となります。

元の形で表現すると、$log_2 \frac{1}{3} < 2 < log_2 7$となります。

3. 最終的な答え

$log_2 \frac{1}{3}, 2, log_2 7$