与えられた定積分の値を求めます。 $$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を有理化します。

$$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{-1} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = \int_{0}^{1} ( (x+1)^{1/2} - x^{1/2} ) dx$$

各項を積分します。

$$\int (x+1)^{1/2} dx = \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + C$$

$$\int x^{1/2} dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C$$

したがって、定積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = \left[ \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1}$$

積分区間の上限と下限を代入します。

$$\left[ \frac{2}{3} (1+1)^{3/2} - \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right] - \left[ \frac{2}{3} (0+1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right] = \left[ \frac{2}{3} (2)^{3/2} - \frac{2}{3} \right] - \left[ \frac{2}{3} (1) - 0 \right]$$

$$= \frac{2}{3} (2 \sqrt{2}) - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4(\sqrt{2} - 1)}{3}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{4(\sqrt{2} - 1)}{3}$$