与えられた行列 $A$ に対して、下三角行列を求める問題です。行列 $A$ は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$ ここで、下三角行列とは、対角成分より上の成分がすべて0である行列のことです。しかし、問題文が「下三角行列を求めよ」とだけ指示しており、どのような下三角行列を求めるのかが不明確です。いくつかの解釈が考えられます。 1. $A$ を下三角行列に変形する（LU分解などを利用）。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、下三角行列を求める問題です。行列 $A$ は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix}

2 & -1 & 4 & -2 \\

-1 & 0 & -3 & 2 \\

-2 & 2 & -1 & -1 \\

0 & -1 & -4 & 5

\end{pmatrix}$

ここで、下三角行列とは、対角成分より上の成分がすべて0である行列のことです。しかし、問題文が「下三角行列を求めよ」とだけ指示しており、どのような下三角行列を求めるのかが不明確です。いくつかの解釈が考えられます。

1. $A$ を下三角行列に変形する（LU分解などを利用）。

2. $A$ の下三角部分を取り出す。

3. $A$ に最も近い下三角行列を求める（ノルムを最小化する）。

ここでは、最も単純な解釈として、$A$ の下三角部分を取り出す、つまり対角成分より上の成分をすべて0にするという解釈で解答します。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の下三角部分を取り出すには、対角成分より上の成分をすべて0にすればよいです。具体的には、$a_{ij}$ (i < j) の成分を0にします。

元の行列は

$A = \begin{pmatrix}

2 & -1 & 4 & -2 \\

-1 & 0 & -3 & 2 \\

-2 & 2 & -1 & -1 \\

0 & -1 & -4 & 5

\end{pmatrix}$

下三角行列 $L$ は次のようになります。

$L = \begin{pmatrix}

2 & 0 & 0 & 0 \\

-1 & 0 & 0 & 0 \\

-2 & 2 & -1 & 0 \\

0 & -1 & -4 & 5

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ の下三角部分は次のようになります。

$\begin{pmatrix}

2 & 0 & 0 & 0 \\

-1 & 0 & 0 & 0 \\

-2 & 2 & -1 & 0 \\

0 & -1 & -4 & 5

\end{pmatrix}$