与えられた方程式 $Z^4 + Z^3 + 2Z^2 + Z + 1 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $Z^4 + Z^3 + 2Z^2 + Z + 1 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

この方程式は回文方程式（相反方程式）です。つまり、係数が対称になっています。このような方程式は、$Z^2$で割ることで解きやすくなります。ただし、$Z=0$ が解でないことを確認する必要があります。 $Z=0$を代入すると、$1=0$となり、これは成り立ちません。したがって、$Z=0$は解ではありません。

$Z^2$で方程式全体を割ると、

$\frac{Z^4}{Z^2} + \frac{Z^3}{Z^2} + \frac{2Z^2}{Z^2} + \frac{Z}{Z^2} + \frac{1}{Z^2} = 0$

$Z^2 + Z + 2 + \frac{1}{Z} + \frac{1}{Z^2} = 0$

項を並び替えると、

$(Z^2 + \frac{1}{Z^2}) + (Z + \frac{1}{Z}) + 2 = 0$

ここで、$x = Z + \frac{1}{Z}$ と置きます。すると、$x^2 = (Z + \frac{1}{Z})^2 = Z^2 + 2 + \frac{1}{Z^2}$ となります。したがって、$Z^2 + \frac{1}{Z^2} = x^2 - 2$ となります。

これを元の式に代入すると、

$(x^2 - 2) + x + 2 = 0$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = -1$ です。

(i) $x = 0$ の場合、 $Z + \frac{1}{Z} = 0$ なので、$Z^2 + 1 = 0$。これから、$Z^2 = -1$ なので、$Z = \pm i$ です。

(ii) $x = -1$ の場合、$Z + \frac{1}{Z} = -1$ なので、$Z^2 + Z + 1 = 0$。これを解の公式で解くと、

$Z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$Z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ と $Z = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$Z = i, -i, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$