与えられた行列 $A$ を用いて、下三角行列を求める問題です。行列 $A$ は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$ 下三角行列とは、対角成分より上の成分がすべて 0 であるような行列です。与えられた行列 $A$ からどのように下三角行列を求めるのか、指示が不足しています。通常、行列を下三角行列に変形するには、LU分解などの手法を用います。ここでは、LU分解を求め、下三角行列Lを求めることを目標とします。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ を用いて、下三角行列を求める問題です。行列 $A$ は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

下三角行列とは、対角成分より上の成分がすべて 0 であるような行列です。与えられた行列 $A$ からどのように下三角行列を求めるのか、指示が不足しています。通常、行列を下三角行列に変形するには、LU分解などの手法を用います。ここでは、LU分解を求め、下三角行列Lを求めることを目標とします。

2. 解き方の手順

行列 $A$ をLU分解することを考えます。LU分解とは、与えられた行列 $A$ を下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ の積 $A = LU$ に分解することです。

elementary row operations を用いて $A$ を上三角行列 $U$ に変形し、その過程で行った elementary row operations を記録することで $L$ を求めます。

ステップ1: 1行目を基準にして、2行目以降の1列目の成分を0にします。

* 2行目に 1行目の 1/2 倍を加える ( $R_2 \leftarrow R_2 + \frac{1}{2}R_1$ )

* 3行目に 1行目の 1 倍を加える ( $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$ )

$A' = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -1/2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

この時、下三角行列 $L$ は、

$L_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とします。

ステップ2: 2行目を基準にして、3行目以降の2列目の成分を0にします。

* 3行目に 2行目の 2 倍を加える ( $R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2$ )

* 4行目に 2行目の -2 倍を加える ( $R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2$ )

$A'' = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -1/2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

この時、下三角行列 $L$ は、

$L_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とします。

ステップ3: 3行目を基準にして、4行目以降の3列目の成分を0にします。

* 4行目に 3行目の 2 倍を加える ( $R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3$ )

$U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -1/2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この時、下三角行列 $L$ は、

$L_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

とします。

$L$ を求めるために、各elementary row operationsに対応する行列の逆行列を掛け合わせます。今回の手順では $L = L_1^{-1}L_2^{-1}L_3^{-1}$ より

$L_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$L_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$L_3^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

よって

$L = L_1^{-1}L_2^{-1}L_3^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -(-1/2) & 1 & 0 & 0 \\ -(-1) & -(2) & 1 & 0 \\ -(0) & -(-2) & -(-2) & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -1/2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最終的な答えでは $A=LU$ となる $L$と$U$のペアを答えとします。

3. 最終的な答え

下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

上三角行列 $U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -1/2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$