次の連立不等式 $ \begin{cases} 2x-3 < x & \cdots ① \\ 2x-a > 0 & \cdots ② \end{cases} $ を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

次の連立不等式

$$

\begin{cases}

2x-3 < x & \cdots ① \\

2x-a > 0 & \cdots ②

\end{cases}

$$

を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式①を解きます。

$2x - 3 < x$

$2x - x < 3$

$x < 3$

次に、不等式②を解きます。

$2x - a > 0$

$2x > a$

$x > \frac{a}{2}$

したがって、連立不等式を満たす $x$ の範囲は

$\frac{a}{2} < x < 3$

となります。

この範囲に整数 $x$ がちょうど4個存在するためには、整数 $x$ は $-1, 0, 1, 2$ でなければなりません。

整数 $x$ が $-1, 0, 1, 2$ の４つの整数になるためには、

$-2 \le \frac{a}{2} < -1$

となる必要があります。

もし $\frac{a}{2} = -2$ となると、 $-2 < x < 3$となり、整数xの数は $-1, 0, 1, 2$の４つとなります。

もし $\frac{a}{2} = -1$ となると、 $-1 < x < 3$となり、整数xの数は $0, 1, 2$の３つとなります。

したがって、

$-2 \le \frac{a}{2} < -1$

この不等式を解きます。

$-2 \le \frac{a}{2} < -1$

$-4 \le a < -2$

3. 最終的な答え

$-4 \le a < -2$