$\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ は全部で何通りあるか求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ は全部で何通りあるか求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{540}{n}}$ が整数となるためには、$\frac{540}{n}$ が整数の2乗となる必要がある。

まず、540を素因数分解する。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

よって、$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n}$ が整数の2乗となるためには、$n$ が $3 \times 5$ を因数として含み、かつ $3^{2k+1} \times 5^{2l+1}$ (k, lは非負整数)の形である必要がある。つまり、$\frac{540}{n}$ の素因数分解において、すべての素数の指数が偶数でなければならない。

$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n} = k^2$ (kは整数) となるような $n$ を求める。

$n = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{k^2}$

$n$ が自然数であるためには、$k^2$ が $2^2 \times 3^3 \times 5$ の約数でなければならない。

$k^2$ が $2^2$ を割り切るためには、$k$ は $2$ の約数である必要がある。つまり、$k = 1, 2$ のいずれか。

$k^2$ が $3^3$ を割り切るためには、$k$ は $3^0$ または $3^1$ の形である必要がある。つまり、$k = 1, 3$ のいずれか。

$k^2$ が $5$ を割り切るためには、$k$ は $5^0$ の形である必要がある。つまり、$k = 1$。

$n$ を自然数とするためには、$\frac{540}{n}$ が整数の2乗になる必要がある。

$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5}{n} = m^2$ ($m$ は整数) とすると、

$n = \frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5}{m^2}$ となる。

$n$ が整数になるためには、$m^2$ が $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$ を割り切る必要がある。

つまり、$m$ は $2 \cdot 3 \sqrt{3 \cdot 5}$ の約数である必要がある。

$m = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ とおくと、$m^2 = 2^{2a} \cdot 3^{2b} \cdot 5^{2c}$

$2a \leq 2$, $2b \leq 3$, $2c \leq 1$ である必要がある。

$a \leq 1$, $b \leq 1.5$, $c \leq 0.5$

$a = 0, 1$; $b = 0, 1$; $c = 0$

よって、$m = 2^0 3^0, 2^1 3^0, 2^0 3^1, 2^1 3^1$

$m = 1, 2, 3, 6$

$n = \frac{540}{1} = 540$

$n = \frac{540}{4} = 135$

$n = \frac{540}{9} = 60$

$n = \frac{540}{36} = 15$

$n$ が $3 \times 5 = 15$ の倍数である必要がある。

$n = 15k$ とおくと $\sqrt{\frac{540}{n}} = \sqrt{\frac{540}{15k}} = \sqrt{\frac{36}{k}} = \frac{6}{\sqrt{k}}$

$\frac{6}{\sqrt{k}}$ が整数になるためには $\sqrt{k}$ が6の約数である必要がある。

つまり、$\sqrt{k} = 1, 2, 3, 6$

$k = 1, 4, 9, 36$

$n = 15, 60, 135, 540$

$n$ は全部で4通り。

3. 最終的な答え

4通り