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以下の3つの不定積分を計算します。 a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$ b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$ c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

解析学不定積分部分分数分解
2025/7/19

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算します。
a) ∫x3x2−1dx\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx
b) ∫1x(x+1)2dx\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx
c) ∫x(x+1)(x−2)dx\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx

2. 解き方の手順

a) ∫x3x2−1dx\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx
まず、被積分関数を部分分数分解しやすいように変形します。
x3x2−1=x(x2−1)+xx2−1=x+xx2−1\frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2-1) + x}{x^2 - 1} = x + \frac{x}{x^2 - 1}
さらに、xx2−1=x(x−1)(x+1)\frac{x}{x^2-1} = \frac{x}{(x-1)(x+1)}を部分分数分解します。
x(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}とおくと、
x=A(x+1)+B(x−1)x = A(x+1) + B(x-1)となります。
x=1x = 1のとき、1=2A1 = 2Aより、A=12A = \frac{1}{2}
x=−1x = -1のとき、−1=−2B-1 = -2Bより、B=12B = \frac{1}{2}
したがって、xx2−1=12(x−1)+12(x+1)\frac{x}{x^2 - 1} = \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}
よって、∫x3x2−1dx=∫(x+12(x−1)+12(x+1))dx=x22+12ln⁡∣x−1∣+12ln⁡∣x+1∣+C=x22+12ln⁡∣x2−1∣+C\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx = \int (x + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2 - 1| + C
b) ∫1x(x+1)2dx\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx
部分分数分解を行います。
1x(x+1)2=Ax+Bx+1+C(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}とおくと、
1=A(x+1)2+Bx(x+1)+Cx1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cxとなります。
x=0x = 0のとき、1=A1 = Aより、A=1A = 1
x=−1x = -1のとき、1=−C1 = -Cより、C=−1C = -1
1=(x+1)2+Bx(x+1)−x=x2+2x+1+Bx2+Bx−x=(1+B)x2+(1+B)x+11 = (x+1)^2 + Bx(x+1) -x = x^2 + 2x + 1 + Bx^2 + Bx - x = (1+B)x^2 + (1+B)x + 1
1+B=01+B = 0より、B=−1B = -1
したがって、1x(x+1)2=1x−1x+1−1(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}
よって、∫1x(x+1)2dx=∫(1x−1x+1−1(x+1)2)dx=ln⁡∣x∣−ln⁡∣x+1∣+1x+1+C=ln⁡∣xx+1∣+1x+1+C\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}) dx = \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C = \ln|\frac{x}{x+1}| + \frac{1}{x+1} + C
c) ∫x(x+1)(x−2)dx\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx
部分分数分解を行います。
x(x+1)(x−2)=Ax+1+Bx−2\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}とおくと、
x=A(x−2)+B(x+1)x = A(x-2) + B(x+1)となります。
x=−1x = -1のとき、−1=−3A-1 = -3Aより、A=13A = \frac{1}{3}
x=2x = 2のとき、2=3B2 = 3Bより、B=23B = \frac{2}{3}
したがって、x(x+1)(x−2)=13(x+1)+23(x−2)\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{1}{3(x+1)} + \frac{2}{3(x-2)}
よって、∫x(x+1)(x−2)dx=∫(13(x+1)+23(x−2))dx=13ln⁡∣x+1∣+23ln⁡∣x−2∣+C\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx = \int (\frac{1}{3(x+1)} + \frac{2}{3(x-2)}) dx = \frac{1}{3}\ln|x+1| + \frac{2}{3}\ln|x-2| + C

3. 最終的な答え

a) x22+12ln⁡∣x2−1∣+C\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2 - 1| + C
b) ln⁡∣xx+1∣+1x+1+C\ln|\frac{x}{x+1}| + \frac{1}{x+1} + C
c) 13ln⁡∣x+1∣+23ln⁡∣x−2∣+C\frac{1}{3}\ln|x+1| + \frac{2}{3}\ln|x-2| + C

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