$\sqrt{3-\sqrt{5}}$ の二重根号を外して、$\frac{\sqrt{\text{ア}}-\sqrt{\text{イ}}}{\sqrt{2}}$ の形に変形するとき、アとイに当てはまるものを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{3-\sqrt{5}}$ の二重根号を外して、$\frac{\sqrt{\text{ア}}-\sqrt{\text{イ}}}{\sqrt{2}}$ の形に変形するとき、アとイに当てはまるものを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

二重根号を外す公式を適用します。

$\sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

今回の問題では、$a=3$, $b=5$です。

$a^2-b = 3^2-5 = 9-5 = 4$

$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{4} = 2$

よって、

$\sqrt{\frac{3+2}{2}} - \sqrt{\frac{3-2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$

ここで、$\sqrt{3-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$

この結果を問題文に与えられた$\sqrt{3-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{\text{ア}}-\sqrt{\text{イ}}}{\sqrt{2}}$と比較すると、分母が2になるように変形する必要があるので、分子と分母に$\sqrt{2}$を掛けます。すると

$\sqrt{3-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{1}}{\sqrt{2}}$です。したがって、アは5、イは1になります。

3. 最終的な答え

ア = 5 (選択肢3)

イ = 1 (選択肢1)

$\sqrt{3-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}}$

選択肢より,

$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$