(1) 区間 $[-1, 1]$ で定義された複素関数 $f(t) = (3 + j2)t$ のノルムを求める。ここで $j$ は虚数単位を表す。 (2) 区間 $[-\pi, \pi]$ で定義された二つの複素関数 $f(t) = e^{jmt}$ と $g(t) = e^{jnt}$ の内積を求める。ただし、$m$, $n$ は整数とする。

1. 問題の内容

(1) 区間 $[-1, 1]$ で定義された複素関数 $f(t) = (3 + j2)t$ のノルムを求める。ここで $j$ は虚数単位を表す。

(2) 区間 $[-\pi, \pi]$ で定義された二つの複素関数 $f(t) = e^{jmt}$ と $g(t) = e^{jnt}$ の内積を求める。ただし、$m$, $n$ は整数とする。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(t)$ のノルムは、$\|f\| = \sqrt{\int_{-1}^{1} |f(t)|^2 dt}$ で定義される。

まず $|f(t)|^2$ を計算する。

$|f(t)|^2 = |(3+j2)t|^2 = (3+j2)(3-j2)t^2 = (9+4)t^2 = 13t^2$

したがって、$\|f\| = \sqrt{\int_{-1}^{1} 13t^2 dt} = \sqrt{13 \int_{-1}^{1} t^2 dt}$

$\int_{-1}^{1} t^2 dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$

よって、$\|f\| = \sqrt{13 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{26}{3}} = \frac{\sqrt{78}}{3}$

(2) 関数 $f(t)$ と $g(t)$ の内積は、$\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \overline{g(t)} dt$ で定義される。ここで $\overline{g(t)}$ は $g(t)$ の複素共役を表す。

$\overline{g(t)} = e^{-jnt}$

したがって、$\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} e^{jmt} e^{-jnt} dt = \int_{-\pi}^{\pi} e^{j(m-n)t} dt$

$m \neq n$ のとき、$\int_{-\pi}^{\pi} e^{j(m-n)t} dt = \left[ \frac{e^{j(m-n)t}}{j(m-n)} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{e^{j(m-n)\pi} - e^{-j(m-n)\pi}}{j(m-n)} = \frac{2j\sin((m-n)\pi)}{j(m-n)} = \frac{2\sin((m-n)\pi)}{m-n} = 0$

$m = n$ のとき、$\int_{-\pi}^{\pi} e^{j(m-n)t} dt = \int_{-\pi}^{\pi} e^{0} dt = \int_{-\pi}^{\pi} 1 dt = [t]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

したがって、$\langle f, g \rangle = \begin{cases} 2\pi & (m = n) \\ 0 & (m \neq n) \end{cases} = 2\pi \delta_{mn}$ (クロネッカーのデルタ)

3. 最終的な答え

(1) $\|f\| = \frac{\sqrt{78}}{3}$

(2) $\langle f, g \rangle = \begin{cases} 2\pi & (m = n) \\ 0 & (m \neq n) \end{cases}$