与えられた指数方程式 $x^{15-3r} \cdot \frac{1}{x^{2r}} = x^{15-5r}$ を満たす $r$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた指数方程式 $x^{15-3r} \cdot \frac{1}{x^{2r}} = x^{15-5r}$ を満たす $r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、左辺を整理する。$\frac{1}{x^{2r}}$ は $x^{-2r}$ と書き換えられるので、与えられた方程式は

$x^{15-3r} \cdot x^{-2r} = x^{15-5r}$

となる。

指数の法則 $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ を適用すると、左辺は

$x^{15-3r-2r} = x^{15-5r}$

と簡単化できる。したがって、

$x^{15-5r} = x^{15-5r}$

となる。

指数の値が等しいはずなので、

$15-5r = 15-5r$

が成り立つ。この式は $r$ の値に関わらず常に成り立つため、この方程式はすべての実数 $r$ に対して成立する。ただし、元の式に$x$のべき乗が含まれているため、$x \neq 0$である必要がある。

3. 最終的な答え

方程式を満たす $r$ はすべての実数（ただし、$x \neq 0$）。