与えられた3つの不定積分を計算する。 a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$ b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$ c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算する。

a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

2. 解き方の手順

a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$

まず、被積分関数を部分分数分解するために、多項式の割り算を実行します。

$x^3 = (x^2 - 1)x + x$

したがって、

$\frac{x^3}{x^2 - 1} = x + \frac{x}{x^2 - 1}$

次に、$\frac{x}{x^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{x}{x^2 - 1} = \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$x = A(x+1) + B(x-1)$

$x = (A+B)x + (A-B)$

したがって、$A+B = 1$ かつ $A-B = 0$。

これにより、$A = B = \frac{1}{2}$ が得られます。

したがって、

$\frac{x}{x^2 - 1} = \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx = \int \left(x + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}\right) dx$

$= \int x dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

$1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$

$1 = A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 + x) + Cx$

$1 = (A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A$

したがって、$A+B = 0$, $2A+B+C = 0$, $A = 1$。

したがって、$B = -1$ かつ $2 - 1 + C = 0$ より $C = -1$。

したがって、

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

$\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$

$= \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$

$= \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + \frac{1}{x+1} + C$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

$x = A(x-2) + B(x+1)$

$x = (A+B)x + (-2A+B)$

したがって、$A+B = 1$ かつ $-2A+B = 0$。

したがって、$B = 2A$ なので、$A+2A = 1$ より $3A = 1$。

したがって、$A = \frac{1}{3}$ かつ $B = \frac{2}{3}$。

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{1}{3(x+1)} + \frac{2}{3(x-2)}$

$\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx = \int \left(\frac{1}{3(x+1)} + \frac{2}{3(x-2)}\right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$

3. 最終的な答え

a) $\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C$

b) $\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + \frac{1}{x+1} + C$

c) $\frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$