次の不定積分を計算します。 a) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$ b) $\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

a) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$

b) $\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

a)

$u = 1 + \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。よって、

$\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |1 + \sin x| + C$

b)

$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

半角の公式 $\cos^2(x/2) = \frac{1 + \cos x}{2}$ より $1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)$。

よって、$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2(x/2)} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(x/2) dx$。

$u = x/2$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$ より、$dx = 2 du$。

$\frac{1}{2} \int \sec^2(x/2) dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(u) (2 du) = \int \sec^2(u) du = \tan u + C = \tan (x/2) + C$

3. 最終的な答え

a) $\ln |1 + \sin x| + C$

b) $\tan (x/2) + C$