神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $\mu$ を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均値 $\bar{x} = 12.8$ (回)、標本分散 $s^2 = 18.4$ を得た。$\mu$ の95%信頼区間を求める。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

1. 問題の内容

神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $\mu$ を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均値 $\bar{x} = 12.8$ (回)、標本分散 $s^2 = 18.4$ を得た。$\mu$ の95%信頼区間を求める。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

2. 解き方の手順

母分散が未知であるため、$t$分布を用いる。

自由度 $df = n - 1 = 10 - 1 = 9$ である。

95%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ となり、両側検定を行うため $\alpha/2 = 0.025$ となる。

$t_{0.025, 9} = 2.262$ である。

信頼区間は以下の式で求められる。

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x} = 12.8$, $t_{0.025, 9} = 2.262$, $s^2 = 18.4$, $n = 10$ である。

$s = \sqrt{18.4} \approx 4.29$

よって、

$12.8 \pm 2.262 \cdot \frac{\sqrt{18.4}}{\sqrt{10}}$

$12.8 \pm 2.262 \cdot \frac{4.29}{3.16}$

$12.8 \pm 2.262 \cdot 1.36$

$12.8 \pm 3.076$

下限：$12.8 - 3.076 = 9.724$

上限：$12.8 + 3.076 = 15.876$

3. 最終的な答え

$\mu$の95%信頼区間は $(9.724, 15.876)$ である。