与えられた分数式 $\frac{2}{(x+1)(x^2+3x+5)}$ を部分分数に分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{2}{(x+1)(x^2+3x+5)}$ を部分分数に分解する問題です。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行うために、次の形を仮定します。

$\frac{2}{(x+1)(x^2+3x+5)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$

両辺に $(x+1)(x^2+3x+5)$ を掛けると、

$2 = A(x^2+3x+5) + (Bx+C)(x+1)$

$2 = Ax^2 + 3Ax + 5A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$2 = (A+B)x^2 + (3A+B+C)x + (5A+C)$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$A+B = 0$

$3A+B+C = 0$

$5A+C = 2$

最初の式より $B = -A$。これを2番目の式に代入すると、

$3A - A + C = 0$

$2A + C = 0$

$C = -2A$

これを3番目の式に代入すると、

$5A - 2A = 2$

$3A = 2$

$A = \frac{2}{3}$

したがって、$B = -\frac{2}{3}$、$C = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$ となります。

よって、部分分数分解は次のようになります。

$\frac{2}{(x+1)(x^2+3x+5)} = \frac{\frac{2}{3}}{x+1} + \frac{-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}}{x^2+3x+5}$

$\frac{2}{(x+1)(x^2+3x+5)} = \frac{2}{3(x+1)} - \frac{2x+4}{3(x^2+3x+5)}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{(x+1)(x^2+3x+5)} = \frac{2}{3(x+1)} - \frac{2x+4}{3(x^2+3x+5)}$