方程式 $x^3 - 1 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

方程式 $x^3 - 1 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 1$ を因数分解します。これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ という因数分解の公式を利用します。

$x^3 - 1 = x^3 - 1^3$ と見なせるので、$a=x$、$b=1$ とすると、

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$

となります。

したがって、方程式は

$(x-1)(x^2+x+1) = 0$

と書き換えられます。

この式が0となるためには、$x-1=0$ または $x^2+x+1=0$ である必要があります。

$x-1 = 0$ を解くと、$x = 1$ が得られます。

$x^2+x+1 = 0$ を解くために、解の公式を使います。$ax^2+bx+c=0$ の解は

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられます。この場合、$a=1$, $b=1$, $c=1$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

したがって、$x^3 - 1 = 0$ の解は、

$x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

です。