次の微分方程式の解を級数の形で求める問題です。 1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1$, 初期条件 $x=0, y=0$

1. 問題の内容

次の微分方程式の解を級数の形で求める問題です。

1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1$, 初期条件 $x=0, y=0$

2. $\frac{dy}{dx} = 2xy + x$, 初期条件 $x=0, y=1$

2. 解き方の手順

問題1: $\frac{dy}{dx} = xy + 1$

$y$ を $x$ のべき級数で表すことを考えます。

$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...$

初期条件 $x=0, y=0$ より、$y(0) = a_0 = 0$。

$\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4a_4 x^3 + ...$

微分方程式に代入します。

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} + 1$

$a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4a_4 x^3 + ... = a_0 x + a_1 x^2 + a_2 x^3 + ... + 1$

定数項を比較すると、$a_1 = 1$。

$x$ の係数を比較すると、$2a_2 = a_0 = 0$, よって $a_2 = 0$。

$x^2$ の係数を比較すると、$3a_3 = a_1 = 1$, よって $a_3 = \frac{1}{3}$。

$x^3$ の係数を比較すると、$4a_4 = a_2 = 0$, よって $a_4 = 0$。

$x^4$ の係数を比較すると、$5a_5 = a_3 = \frac{1}{3}$, よって $a_5 = \frac{1}{15}$。

したがって、$y = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{15}x^5 + ...$

問題2: $\frac{dy}{dx} = 2xy + x$

$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...$

初期条件 $x=0, y=1$ より、$y(0) = a_0 = 1$。

$\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4a_4 x^3 + ...$

微分方程式に代入します。

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = 2x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + x$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} + x$

$a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4a_4 x^3 + ... = 2a_0 x + 2a_1 x^2 + 2a_2 x^3 + ... + x$

$x$ の係数を比較すると、$2a_2 = 2a_0 + 1 = 2(1) + 1 = 3$, よって $a_2 = \frac{3}{2}$。

定数項を比較すると、$a_1 = 0$。

$x^2$ の係数を比較すると、$3a_3 = 2a_1 = 0$, よって $a_3 = 0$。

$x^3$ の係数を比較すると、$4a_4 = 2a_2 = 2 (\frac{3}{2}) = 3$, よって $a_4 = \frac{3}{4}$。

したがって、$y = 1 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x^4 + ...$

3. 最終的な答え

問題1: $y = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{15}x^5 + ...$

問題2: $y = 1 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x^4 + ...$