実数 $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ が、任意の $x, y \in \mathbb{R}$ に対して $f(x+y) = f(x) + f(y)$ を満たし、$x=a$ (ここで $a$ は定数) で微分可能であるとき、$f(x)$ が $\mathbb{R}$ 上で連続となることを示す問題です。

1. 問題の内容

実数 $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ が、任意の $x, y \in \mathbb{R}$ に対して $f(x+y) = f(x) + f(y)$ を満たし、$x=a$ (ここで $a$ は定数) で微分可能であるとき、$f(x)$ が $\mathbb{R}$ 上で連続となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+y) = f(x) + f(y)$ を満たす関数 $f(x)$ を考えます。この関数はコーシーの関数方程式と呼ばれています。$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるという条件から、$f(x)$ が $\mathbb{R}$ 上で連続であることを導きます。

(1) $f(0)$ の値を求めます。$f(x+y) = f(x) + f(y)$ において、$x=0$, $y=0$ とすると、$f(0) = f(0) + f(0)$ より $f(0) = 0$ となります。

(2) $f(x)$ の微分可能性の定義を利用します。$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ が存在します。この極限値を $f'(a)$ と表します。

(3) $f(a+h) = f(a) + f(h)$ を利用して、微分可能性の定義を書き換えます。

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{f(a) + f(h) - f(a)}{h} = \frac{f(h)}{h}$

したがって、$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$ が存在します。

(4) 特に、$a=0$ のとき、$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$ が存在します。この極限値を $f'(0)$ とおきます。

(5) 任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して、$f(x)$ の微分可能性を調べます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) + f(h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = f'(0)$

したがって、$f(x)$ は任意の $x$ で微分可能であり、$f'(x) = f'(0)$ が成り立ちます。

(6) $f(x)$ は微分可能なので、積分することにより、$f(x) = f'(0) x + C$ ($C$ は積分定数) となります。$f(0) = 0$ より、$C=0$ であるため、$f(x) = f'(0) x$ となります。

(7) $f(x) = f'(0) x$ は一次関数であるため、$\mathbb{R}$ 上で連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $\mathbb{R}$ 上で連続である。