次の3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

1. 問題の内容

次の3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x + xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x(1+x)}$

再び $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x(1+x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x + e^x(1+x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x(2+x)} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

ここで、$y = \arctan x$ とおくと、$x = \tan y$ であり、$x \to \infty$ のとき $y \to \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2}) = \lim_{y \to \frac{\pi}{2}} \tan y (y - \frac{\pi}{2})$

$z = y - \frac{\pi}{2}$ とおくと、$y = z + \frac{\pi}{2}$ であり、$y \to \frac{\pi}{2}$ のとき $z \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{y \to \frac{\pi}{2}} \tan y (y - \frac{\pi}{2}) = \lim_{z \to 0} \tan(z + \frac{\pi}{2}) z = \lim_{z \to 0} -\cot z \cdot z = \lim_{z \to 0} - \frac{z}{\tan z}$

$\lim_{z \to 0} \frac{\tan z}{z} = 1$ であるから、

$\lim_{z \to 0} - \frac{z}{\tan z} = -1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) -1