与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{1}{x} \sqrt{x^2 - 1} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は

$\int \frac{1}{x} \sqrt{x^2 - 1} dx$

です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sec{\theta}$ と置換します。このとき、$dx = \sec{\theta} \tan{\theta} d\theta$ となります。

積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{1}{\sec{\theta}} \sqrt{\sec^2{\theta} - 1} \sec{\theta} \tan{\theta} d\theta$

$\sec^2{\theta} - 1 = \tan^2{\theta}$ であるから、$\sqrt{\sec^2{\theta} - 1} = \sqrt{\tan^2{\theta}} = \tan{\theta}$ となります。したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sec{\theta}} \tan{\theta} \sec{\theta} \tan{\theta} d\theta = \int \tan^2{\theta} d\theta$

$\tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1$ であるから、積分は

$\int (\sec^2{\theta} - 1) d\theta = \int \sec^2{\theta} d\theta - \int 1 d\theta$

$\int \sec^2{\theta} d\theta = \tan{\theta}$ および $\int 1 d\theta = \theta$ であるから、

$\int (\sec^2{\theta} - 1) d\theta = \tan{\theta} - \theta + C$

ここで、$x = \sec{\theta}$ なので、$\theta = \sec^{-1}{x}$ です。

また、$\tan{\theta} = \sqrt{\sec^2{\theta} - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$ です。

したがって、

$\tan{\theta} - \theta + C = \sqrt{x^2 - 1} - \sec^{-1}{x} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x} \sqrt{x^2 - 1} dx = \sqrt{x^2 - 1} - \sec^{-1}{x} + C$