与えられた積分を計算します。 $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$x = \sec \theta$ と置換します。すると、$dx = \sec \theta \tan \theta d\theta$ となります。積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sec \theta} \sqrt{\frac{\sec \theta - 1}{\sec \theta + 1}} \sec \theta \tan \theta d\theta = \int \tan \theta \sqrt{\frac{\sec \theta - 1}{\sec \theta + 1}} d\theta$

次に、$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ を代入します。

$\int \tan \theta \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} d\theta = \int \tan \theta \sqrt{\frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \cos^2 (\theta/2)}} d\theta = \int \tan \theta \tan (\theta/2) d\theta$

$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1-\tan^2 (\theta/2)}$ を用いて、

$\int \frac{2 \tan^2 (\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)} d\theta$

$t = \tan(\theta/2)$ と置くと、$\theta = 2 \arctan t$ であり、$d\theta = \frac{2}{1+t^2} dt$ となります。したがって、積分は、

$\int \frac{2t^2}{1-t^2} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{4t^2}{(1-t^2)(1+t^2)} dt = \int \frac{4t^2}{1-t^4} dt$

部分分数分解をすると、

$\frac{4t^2}{1-t^4} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1-it} + \frac{D}{1+it}$

となります。しかし、この積分は難しそうです。

別の方法を試します。

$\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = t$ と置換します。

$\frac{x-1}{x+1} = t^2$

$x-1 = t^2(x+1) = t^2 x + t^2$

$x(1-t^2) = 1+t^2$

$x = \frac{1+t^2}{1-t^2}$

$dx = \frac{2t(1-t^2) - (1+t^2)(-2t)}{(1-t^2)^2} dt = \frac{2t - 2t^3 + 2t + 2t^3}{(1-t^2)^2} dt = \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt$

積分は

$\int \frac{1-t^2}{1+t^2} t \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt = \int \frac{4t^2}{(1+t^2)(1-t^2)} dt = \int \frac{4t^2}{1-t^4} dt$

これは、先ほどと同じ結果です。

$\frac{4t^2}{1-t^4} = \frac{A t + B}{1-t^2} + \frac{C t + D}{1+t^2}$

$4t^2 = (A t + B)(1+t^2) + (Ct + D)(1-t^2) = At + At^3 + B + Bt^2 + Ct - Ct^3 + D - Dt^2$

$= (A-C)t^3 + (B-D)t^2 + (A+C)t + (B+D)$

したがって、$A-C=0$, $B-D=4$, $A+C=0$, $B+D=0$.

$A = C = 0$.

$B-D = 4$ かつ $B+D = 0$ より、$2B = 4$, $B=2$, $D=-2$.

よって、$\frac{4t^2}{1-t^4} = \frac{2}{1-t^2} - \frac{2}{1+t^2}$.

$\int \frac{4t^2}{1-t^4} dt = \int \frac{2}{1-t^2} dt - \int \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} dt - 2 \arctan t = \ln |1+t| - \ln |1-t| - 2 \arctan t + C = \ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right| - 2 \arctan t + C$.

$t = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

$\ln \left| \frac{1 + \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}{1 - \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}} \right| - 2 \arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C = \ln \left| \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}} \right| - 2 \arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$

$= \ln \left| \frac{(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2}{(x+1) - (x-1)} \right| - 2 \arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C = \ln \left| \frac{x+1 + x-1 + 2\sqrt{x^2-1}}{2} \right| - 2 \arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| - 2 \arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$

3. 最終的な答え

$\ln |x + \sqrt{x^2-1}| - 2 \arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$