与えられた領域 $D$ 上で定義された二重積分を、変数変換を用いて計算する問題です。 (1) $\iint_D x^2 \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, 0 \leq x - y \leq 1, 0 \leq x + y \leq 1\}$ (2) $\iint_D (x - y)^2 \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, -1 \leq x + 2y \leq 1, -1 \leq x - y \leq 1\}$ (3) $\iint_D (x^2 + y^2) \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, x^2 + y^2 \leq 1\}$ (4) $\iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, x^2 + y^2 \leq a^2, x \geq 0, y \geq 0\} \, (a > 0)$ (5) $\iint_D xy \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\} \, (a > 0, b > 0)$

1. 問題の内容

与えられた領域 $D$ 上で定義された二重積分を、変数変換を用いて計算する問題です。

(1) $\iint_D x^2 \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, 0 \leq x - y \leq 1, 0 \leq x + y \leq 1\}$

(2) $\iint_D (x - y)^2 \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, -1 \leq x + 2y \leq 1, -1 \leq x - y \leq 1\}$

(3) $\iint_D (x^2 + y^2) \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, x^2 + y^2 \leq 1\}$

(4) $\iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, x^2 + y^2 \leq a^2, x \geq 0, y \geq 0\} \, (a > 0)$

(5) $\iint_D xy \, dxdy$, $D = \{(x, y) \,|\, \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\} \, (a > 0, b > 0)$

2. 解き方の手順

各問題について、適切な変数変換を行い、ヤコビアンを計算し、積分範囲を変換してから積分を実行します。

(1) $u = x - y$, $v = x + y$ と変換すると、$x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{v-u}{2}$ となります。ヤコビアンは

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

積分範囲は $0 \leq u \leq 1$, $0 \leq v \leq 1$ となります。

$\iint_D x^2 \, dxdy = \int_0^1 \int_0^1 (\frac{u+v}{2})^2 |J| \, dudv = \int_0^1 \int_0^1 \frac{(u+v)^2}{4} \cdot \frac{1}{2} \, dudv = \frac{1}{8} \int_0^1 \int_0^1 (u^2 + 2uv + v^2) \, dudv = \frac{1}{8} \int_0^1 [\frac{u^3}{3} + u^2v + uv^2]_0^1 \, dv = \frac{1}{8} \int_0^1 (\frac{1}{3} + v + v^2) \, dv = \frac{1}{8} [\frac{v}{3} + \frac{v^2}{2} + \frac{v^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{8} (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{8} (\frac{2+3+2}{6}) = \frac{7}{48}$

(2) $u = x + 2y$, $v = x - y$ と変換すると、$x = \frac{2v+u}{3}$, $y = \frac{u-v}{3}$ となります。ヤコビアンは

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} = -\frac{1}{9} - \frac{2}{9} = -\frac{1}{3}$

積分範囲は $-1 \leq u \leq 1$, $-1 \leq v \leq 1$ となります。

$\iint_D (x - y)^2 \, dxdy = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 v^2 |J| \, dudv = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 v^2 \cdot \frac{1}{3} \, dudv = \frac{1}{3} \int_{-1}^1 v^2 [u]_{-1}^1 \, dv = \frac{1}{3} \int_{-1}^1 v^2 (1 - (-1)) \, dv = \frac{2}{3} \int_{-1}^1 v^2 \, dv = \frac{2}{3} [\frac{v^3}{3}]_{-1}^1 = \frac{2}{3} (\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

(3) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$。ヤコビアンは $J = r$。積分範囲は $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ となります。

$\iint_D (x^2 + y^2) \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r \, drd\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, drd\theta = \int_0^{2\pi} [\frac{r^4}{4}]_0^1 \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$

(4) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$。ヤコビアンは $J = r$。積分範囲は $0 \leq r \leq a$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ となります。

$\iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^a \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r \, drd\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [-\frac{1}{3} (a^2 - r^2)^{3/2}]_0^a \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (0 - (-\frac{1}{3} (a^2)^{3/2})) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{a^3}{3} \, d\theta = \frac{a^3}{3} [\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{a^3}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^3}{6}$

(5) $x = ar\cos\theta$, $y = br\sin\theta$ と変換すると、ヤコビアンは $J = abr$。積分範囲は $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ となります。

$\iint_D xy \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (ar\cos\theta)(br\sin\theta) abr \, drd\theta = a^2b^2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, drd\theta = a^2b^2 \int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta [\frac{r^4}{4}]_0^1 \, d\theta = \frac{a^2b^2}{4} \int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{a^2b^2}{4} [\frac{\sin^2\theta}{2}]_0^{2\pi} = \frac{a^2b^2}{4} (0 - 0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{48}$

(2) $\frac{4}{9}$

(3) $\frac{\pi}{2}$

(4) $\frac{\pi a^3}{6}$

(5) $0$