問題は全部で5問あり、それぞれ以下の内容です。 * 問題1: 演算子$\nabla$を使って与えられた式を表す。 * 問題2: ベクトル解析の公式$\nabla \cdot (f\mathbf{A})$を、gradとdivを使って表す。ただし、$f$はスカラーである。 * 問題3: $\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$のとき、(1) $\text{div} \, \mathbf{r}$と(2) $\text{div} \, (\frac{\mathbf{r}}{r^3})$を計算する (ただし、$r \neq 0$とする)。 * 問題4: (1) 位置ベクトル$\mathbf{r} = (x, y, z)$に対し、$\text{rot} \, \mathbf{r}$を計算する。 (2) ベクトル場$\mathbf{A} = (0, x, 0)$の回転 $\text{rot} \, \mathbf{A}$を計算する。 * 問題5: $\text{rot} \, \mathbf{A}$を行列式で表し、それを展開して、前のページの定義と一致することを示す。

はい、承知しました。画像にある応用数学1の演習問題(6)を解きます。

1. 問題の内容

問題は全部で5問あり、それぞれ以下の内容です。

* 問題1: 演算子$\nabla$を使って与えられた式を表す。

* 問題2: ベクトル解析の公式$\nabla \cdot (f\mathbf{A})$を、gradとdivを使って表す。ただし、$f$はスカラーである。

* 問題3: $\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$のとき、(1) $\text{div} \, \mathbf{r}$と(2) $\text{div} \, (\frac{\mathbf{r}}{r^3})$を計算する (ただし、$r \neq 0$とする)。

* 問題4: (1) 位置ベクトル$\mathbf{r} = (x, y, z)$に対し、$\text{rot} \, \mathbf{r}$を計算する。 (2) ベクトル場$\mathbf{A} = (0, x, 0)$の回転 $\text{rot} \, \mathbf{A}$を計算する。

* 問題5: $\text{rot} \, \mathbf{A}$を行列式で表し、それを展開して、前のページの定義と一致することを示す。

2. 解き方の手順

* 問題1:

* (1) $E = -\text{grad} \, \phi$は、$E = -\nabla \phi$と表せる。

* (2) $\text{div} \, \mathbf{E} = 0$は、$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$と表せる。

* 問題2:

* $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = (\nabla f) \cdot \mathbf{A} + f (\nabla \cdot \mathbf{A})$。

$\nabla f$は$\text{grad} \, f$であり、$\nabla \cdot \mathbf{A}$は$\text{div} \, \mathbf{A}$であるから、

$\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = (\text{grad} \, f) \cdot \mathbf{A} + f (\text{div} \, \mathbf{A})$となる。

* 問題3:

* (1) $\text{div} \, \mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$。

* (2) $\text{div} \, (\frac{\mathbf{r}}{r^3})$を計算する。$\mathbf{r}/r^3=\mathbf{r}/(x^2+y^2+z^2)^{3/2}$.

$\text{grad} \frac{1}{r} = (-\frac{x}{r^3}, -\frac{y}{r^3}, -\frac{z}{r^3})$

$\text{div} \frac{\mathbf{r}}{r^3} = 0$

* 問題4:

* (1) $\text{rot} \, \mathbf{r} = \begin{pmatrix} \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x} \\ \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。

* (2) $\text{rot} \, \mathbf{A} = \begin{pmatrix} \frac{\partial (0)}{\partial y} - \frac{\partial (0)}{\partial z} \\ \frac{\partial (0)}{\partial z} - \frac{\partial (0)}{\partial x} \\ \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (0)}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

* 問題5:

* $\text{rot} \, \mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{pmatrix} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$。

3. 最終的な答え

* 問題1:

* (1) $E = -\nabla \phi$

* (2) $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

* 問題2:

* $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = (\text{grad} \, f) \cdot \mathbf{A} + f (\text{div} \, \mathbf{A})$

* 問題3:

* (1) $\text{div} \, \mathbf{r} = 3$

* (2) $\text{div} \, (\frac{\mathbf{r}}{r^3}) = 0$

* 問題4:

* (1) $\text{rot} \, \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

* (2) $\text{rot} \, \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

* 問題5:

* $\text{rot} \, \mathbf{A} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$