曲線 $C: y = -x^3 + 3x^2 + 3x - 4$ と直線 $l: y = 2x - 1$ の共有点の $x$ 座標を求め、曲線 $C$ と直線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = -x^3 + 3x^2 + 3x - 4$ と直線 $l: y = 2x - 1$ の共有点の $x$ 座標を求め、曲線 $C$ と直線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標を求める。

$-x^3 + 3x^2 + 3x - 4 = 2x - 1$ を解く。

$-x^3 + 3x^2 + x - 3 = 0$

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$

$x^2(x-3) - (x-3) = 0$

$(x^2 - 1)(x-3) = 0$

$(x-1)(x+1)(x-3) = 0$

よって、$x = -1, 1, 3$ が共有点の $x$ 座標である。

次に、囲まれた部分の面積を求める。

$x = -1$ から $x = 1$ の区間では、 $-x^3 + 3x^2 + 3x - 4 \ge 2x - 1$ なので、積分区間 $[-1, 1]$ において、

$\int_{-1}^{1} (-x^3 + 3x^2 + 3x - 4 - (2x - 1)) dx = \int_{-1}^{1} (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx$

$= [-\frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 3x]_{-1}^{1} = (-\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3) - (-\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} + 3) = -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 + \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{2} - 3 = -4$

ただし、面積は正なので絶対値をとって4。

$x = 1$ から $x = 3$ の区間では、$2x - 1 \ge -x^3 + 3x^2 + 3x - 4$ なので、積分区間 $[1, 3]$ において、

$\int_{1}^{3} (2x - 1 - (-x^3 + 3x^2 + 3x - 4)) dx = \int_{1}^{3} (x^3 - 3x^2 - x + 3) dx$

$= [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x]_{1}^{3} = (\frac{81}{4} - 27 - \frac{9}{2} + 9) - (\frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{2} + 3) = \frac{81}{4} - 18 - \frac{9}{2} - (\frac{1}{4} + 2 - \frac{1}{2}) = \frac{80}{4} - 20 - \frac{8}{2} = 20 - 20 - 4 = -4$

ただし、面積は正なので絶対値をとって4。

したがって、面積は $4 + 4 = 8$。

3. 最終的な答え

共有点の x 座標は $-1, 1, 3$。

曲線Cと直線lによって囲まれた部分の面積は 8。