数列 $\{a_n\}$ について、漸化式 $a_{n+1} = \{2a_{n+1} - (n+1)\} - (2a_n - n)$ が与えられている。 この漸化式を整理すると、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ となる。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ について、漸化式 $a_{n+1} = \{2a_{n+1} - (n+1)\} - (2a_n - n)$ が与えられている。

この漸化式を整理すると、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ となる。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ は、特性方程式を用いて解くことができる。

特性方程式を $x = 2x + 1$ とする。

これを解くと $x = -1$ である。

したがって、漸化式は次のように変形できる。

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$

ここで、$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となる。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比2の等比数列であることを示している。

したがって、一般項は $b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$ と表せる。

$b_1 = a_1 + 1$ なので、

$b_n = (a_1 + 1)2^{n-1}$

$a_n = b_n - 1$ より、

$a_n = (a_1 + 1)2^{n-1} - 1$

3. 最終的な答え

$a_n = (a_1 + 1)2^{n-1} - 1$