二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \leq x \leq 1$) について、以下の問いに答える問題です。 - $a > 2$ のとき、最小値を求める。 - $a < -2$ のとき、最小値を求める。 - $-2 < a < 2$ のとき、最小値を求める。 - $a > 0$ のとき、最大値を求める。 選択肢の中から適切なものを選ぶ。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \leq x \leq 1$) について、以下の問いに答える問題です。

- $a > 2$ のとき、最小値を求める。

- $a < -2$ のとき、最小値を求める。

- $-2 < a < 2$ のとき、最小値を求める。

- $a > 0$ のとき、最大値を求める。

選択肢の中から適切なものを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 + 2ax + 4 = 2(x^2 + ax) + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + 4$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。定義域は $-1 \leq x \leq 1$ です。

- $a > 2$ のとき、$-\frac{a}{2} < -1$ なので、定義域内で $f(x)$ は増加関数です。したがって、$x = -1$ で最小値をとります。

最小値は $f(-1) = 2(-1)^2 + 2a(-1) + 4 = 2 - 2a + 4 = 6 - 2a$

- $a < -2$ のとき、$-\frac{a}{2} > 1$ なので、定義域内で $f(x)$ は減少関数です。したがって、$x = 1$ で最小値をとります。

最小値は $f(1) = 2(1)^2 + 2a(1) + 4 = 2 + 2a + 4 = 6 + 2a$

- $-2 < a < 2$ のとき、$-1 < -\frac{a}{2} < 1$ なので、軸が定義域内にあります。したがって、$x = -\frac{a}{2}$ で最小値をとります。

最小値は $f(-\frac{a}{2}) = 2(-\frac{a}{2} + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + 4 = -\frac{a^2}{2} + 4$

- $a > 0$ のとき、$-\frac{a}{2} < 0$ なので、$x=1$で最大値か、$x=-1$で最大値をとるか考える。$f(1) = 6+2a$、$f(-1) = 6-2a$となり、$a>0$なので$f(1)>f(-1)$。したがって、$x=1$で最大値をとり、最大値は$f(1)=6+2a$です。ただし、最大値の問題は$a>0$なので選択肢に$6+2a$はありません。軸が負であるため，$x=-1$のとき最大値を取りうるので，$a>0$の時，範囲の端の値，$f(-1) = 6-2a$と軸の位置を考慮すると，最大値は$x=1$となることはない.なぜなら軸の位置は常に定義域の中央(0)より左にあるから。よって最大値は$-1$で発生し、$f(-1) = 6-2a$

よって、$a>0$のとき，最大値は6-2aとなる。

3. 最終的な答え

- a > 2 のとき、最小値は 6 - 2a

- a < -2 のとき、最小値は 6 + 2a

- -2 < a < 2 のとき、最小値は 4 - a^2/2

- a > 0 のとき、最大値は 6 - 2a

したがって、解答欄の空欄に当てはまる選択肢は以下のようになります。

- 17: ⑤ (6 - 2a)

- 18: ④ (6 + 2a)

- 19: ③ (4 - a^2/2)

- 20: ⑤ (6 - 2a)