与えられた微分方程式 $ \alpha e^{\alpha x}\{\cos(\beta y) + \sin(\beta y)\}dx + \beta e^{\alpha x}\{\cos(\beta y) - \sin(\beta y)\}dy = 0 $ の一般解を求め、$x=0$ のとき $y=0$ となる解を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\alpha e^{\alpha x}\{\cos(\beta y) + \sin(\beta y)\}dx + \beta e^{\alpha x}\{\cos(\beta y) - \sin(\beta y)\}dy = 0$ の一般解を求め、$x=0$ のとき $y=0$ となる解を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

まず与えられた微分方程式が完全微分方程式かどうか確認します。

$M(x, y) = \alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y))$

$N(x, y) = \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \alpha e^{\alpha x} (-\beta \sin(\beta y) + \beta \cos(\beta y)) = \alpha \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \beta \alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ であるため、与えられた微分方程式は完全微分方程式です。

次に、$u(x, y)$ を求めます。

$\frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y) = \alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y))$

$u(x, y) = \int \alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) dx = e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) + g(y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^{\alpha x} \beta \sin(\beta y) + e^{\alpha x} \beta \cos(\beta y) + g'(y) = \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

したがって、$g'(y) = 0$ となり、$g(y) = C$ (定数)。

よって、一般解は $e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) = C$ となります。

初期条件 $x=0$ のとき $y=0$ を代入します。

$e^{\alpha \cdot 0} (\cos(\beta \cdot 0) + \sin(\beta \cdot 0)) = C$

$1 (\cos(0) + \sin(0)) = C$

$1 (1 + 0) = C$

$C = 1$

したがって、解は $e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) = 1$

3. 最終的な答え

1. $e^{\alpha x}\{\cos(\beta y) + \sin(\beta y)\} = 1$