2つの曲線 $C_1: y = a \log x$ と $C_2: y = x^2$ が共有点を持ち、その点における接線が一致するとき、$a$ の値と共有点の $x$ 座標を求めます。$C_1$ 上の点 $(t, a \log t)$ が $C_2$ 上の点でもあるとき、$a \log t = t^2$ が成り立ちます。点 $(t, a \log t)$ における $C_1$ と $C_2$ の接線の傾きが等しいときを考え、$a/t$ がどのような値になるか、そして $a$ の値と共有点の $x$ 座標を求めます。

1. 問題の内容

2つの曲線 $C_1: y = a \log x$ と $C_2: y = x^2$ が共有点を持ち、その点における接線が一致するとき、$a$ の値と共有点の $x$ 座標を求めます。$C_1$ 上の点 $(t, a \log t)$ が $C_2$ 上の点でもあるとき、$a \log t = t^2$ が成り立ちます。点 $(t, a \log t)$ における $C_1$ と $C_2$ の接線の傾きが等しいときを考え、$a/t$ がどのような値になるか、そして $a$ の値と共有点の $x$ 座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C_1: y = a \log x$ の導関数は $y' = \frac{a}{x}$ です。したがって、点 $(t, a \log t)$ における接線の傾きは $\frac{a}{t}$ です。

次に、曲線 $C_2: y = x^2$ の導関数は $y' = 2x$ です。したがって、点 $(t, t^2)$ における接線の傾きは $2t$ です。

接線の傾きが等しいので、

$\frac{a}{t} = 2t$

$a = 2t^2$

また、$a \log t = t^2$ であるから、$a = \frac{t^2}{\log t}$ となります。

したがって、

$2t^2 = \frac{t^2}{\log t}$

$2 = \frac{1}{\log t}$

$\log t = \frac{1}{2}$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

よって、共有点の $x$ 座標は $\sqrt{e}$ です。

$a = 2t^2 = 2 (e^{\frac{1}{2}})^2 = 2e$

3. 最終的な答え

$1$: $2t$

$2$: $2e$ (選択肢 ②)

$3$: $\sqrt{e}$ (選択肢 ④)