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与えられた置換の積を計算する問題です。問題は4つあります。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)$ (4) $(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$

代数学置換置換の積群論
2025/7/20
はい、承知しました。置換の積を計算する問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。問題は4つあります。
(1) (123312)(123312)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}
(2) (12343421)(12344321)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
(3) (1 3)(2 3)(2 4)(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)
(4) (1 4)(2 3)(1 2 4 3)(2 3)(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)

2. 解き方の手順

置換の積は、右から左へ順に適用します。
(1)
まず、右側の置換を適用します。
1→31 \rightarrow 3
2→12 \rightarrow 1
3→23 \rightarrow 2
次に、左側の置換を適用します。
3→23 \rightarrow 2
1→31 \rightarrow 3
2→12 \rightarrow 1
したがって、全体の置換は次のようになります。
1→21 \rightarrow 2
2→32 \rightarrow 3
3→13 \rightarrow 1
これは、(123231)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}と表せます。
(2)
まず、右側の置換を適用します。
1→41 \rightarrow 4
2→32 \rightarrow 3
3→23 \rightarrow 2
4→14 \rightarrow 1
次に、左側の置換を適用します。
4→14 \rightarrow 1
3→23 \rightarrow 2
2→42 \rightarrow 4
1→31 \rightarrow 3
したがって、全体の置換は次のようになります。
1→31 \rightarrow 3
2→42 \rightarrow 4
3→43 \rightarrow 4
4→34 \rightarrow 3
1→31 \rightarrow 3
2→42 \rightarrow 4
3→23 \rightarrow 2
4→14 \rightarrow 1
全体の置換は次のようになります。
1→11 \rightarrow 1
2→32 \rightarrow 3
3→43 \rightarrow 4
4→14 \rightarrow 1
したがって、
(12343421)(12344321)=(12343241)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}
(3)
(1 3)(2 3)(2 4)(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)
まず、(2 4)(2\ 4)を適用します。
2→42 \rightarrow 4
4→24 \rightarrow 2
次に、(2 3)(2\ 3)を適用します。
2→32 \rightarrow 3
3→23 \rightarrow 2
したがって、
2→32 \rightarrow 3
3→23 \rightarrow 2
2→4→32 \rightarrow 4 \rightarrow 3
最後に、(1 3)(1\ 3)を適用します。
1→31 \rightarrow 3
3→13 \rightarrow 1
全体の置換は次のようになります。
1→31 \rightarrow 3
3→13 \rightarrow 1
したがって、
1→3→21 \rightarrow 3 \rightarrow 2
2→42 \rightarrow 4
3→13 \rightarrow 1
4→24 \rightarrow 2
(1 3)(2 3)(2 4)=(12343412)(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}
これは、巡回置換 (1 3)(2 4)(1\ 3)(2\ 4) とも表せる。
(4)
(1 4)(2 3)(1 2 4 3)(2 3)(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)
まず、(2 3)(2\ 3)を適用します。
2→32 \rightarrow 3
3→23 \rightarrow 2
次に、(1 2 4 3)(1\ 2\ 4\ 3)を適用します。
1→21 \rightarrow 2
2→42 \rightarrow 4
4→34 \rightarrow 3
3→13 \rightarrow 1
したがって、
1→2→31 \rightarrow 2 \rightarrow 3
2→32 \rightarrow 3
次に、(2 3)(2\ 3)を適用すると、
2→32 \rightarrow 3
3→23 \rightarrow 2
(2 3)(2\ 3)
1→11\to 1
2→32\to 3
3→23\to 2
4→44\to 4
(1 2 4 3)(1\ 2\ 4\ 3)
1→21\to 2
2→42\to 4
3→13\to 1
4→34\to 3
(1 2 4 3)(2 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)
1→1→21\to 1\to 2
2→3→12\to 3\to 1
3→2→43\to 2\to 4
4→4→34\to 4\to 3
(12342143)\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&1&4&3 \end{pmatrix}
(2 3)(2\ 3)
1→11\to 1
2→32\to 3
3→23\to 2
4→44\to 4
(1 4)(1\ 4)
1→41\to 4
2→22\to 2
3→33\to 3
4→14\to 1
(1 4)(2 3)(1\ 4)(2\ 3)
(12344321)\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&3&2&1 \end{pmatrix}
(1 4)(2 3)(1 2 4 3)(2 3)(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)
1→2→31\to 2\to 3
2→1→42\to 1\to 4
3→4→23\to 4\to 2
4→3→14\to 3\to 1
(12343421)\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&4&2&1 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) (123231)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
(2) (12343241)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}
(3) (12343412)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}
(4) (12343421)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}

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