ラプラス変換を用いて、以下の微分方程式を解く問題です。初期条件も与えられています。 $y'' - y' - 6y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$

1. 問題の内容

ラプラス変換を用いて、以下の微分方程式を解く問題です。初期条件も与えられています。

$y'' - y' - 6y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式のラプラス変換を求めます。$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$ とおくと、以下のようになります。

$\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0)$

$\mathcal{L}\{y\} = Y(s)$

これらを用いると、微分方程式のラプラス変換は以下のようになります。

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) - 6Y(s) = 0$

初期条件 $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$ を代入すると、

$s^2Y(s) - s - 2 - sY(s) + 1 - 6Y(s) = 0$

$Y(s)$ について整理します。

$(s^2 - s - 6)Y(s) = s + 1$

$Y(s) = \frac{s+1}{s^2 - s - 6}$

分母を因数分解します。

$Y(s) = \frac{s+1}{(s-3)(s+2)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{s+1}{(s-3)(s+2)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+2}$

$s+1 = A(s+2) + B(s-3)$

$s = 3$ のとき、$3+1 = A(3+2) + B(3-3)$ より、$4 = 5A$ なので $A = \frac{4}{5}$

$s = -2$ のとき、$-2+1 = A(-2+2) + B(-2-3)$ より、$-1 = -5B$ なので $B = \frac{1}{5}$

したがって、

$Y(s) = \frac{4/5}{s-3} + \frac{1/5}{s+2}$

逆ラプラス変換を行います。

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{4/5}{s-3} + \frac{1/5}{s+2}\} = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$