ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\vec{x'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix}$ に対して、内積 $(\vec{x}, \vec{x'})$、長さ $||\vec{x}||$、 $||\vec{x'}||$、$\vec{x}$と$\vec{x'}$のなす角$\theta$における$\cos\theta$、$\vec{x}$と$\vec{x'}$が張る平行四辺形の面積、外積 $\vec{x} \times \vec{x'}$ を求めよ。

## 問題1 (1)の解答

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\vec{x'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix}$ に対して、内積 $(\vec{x}, \vec{x'})$、長さ $||\vec{x}||$、 $||\vec{x'}||$、$\vec{x}$と$\vec{x'}$のなす角$\theta$における$\cos\theta$、$\vec{x}$と$\vec{x'}$が張る平行四辺形の面積、外積 $\vec{x} \times \vec{x'}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $(\vec{x}, \vec{x'})$ を求める。

$(\vec{x}, \vec{x'}) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + (-1) \cdot (-6) = 12 + 10 + 6 = 28$

(2) 長さ $||\vec{x}||$ と $||\vec{x'}||$ を求める。

$||\vec{x}|| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

$||\vec{x'}|| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77}$

(3) $\cos\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{(\vec{x}, \vec{x'})}{||\vec{x}|| \cdot ||\vec{x'}||} = \frac{28}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{28}{\sqrt{1078}} = \frac{28}{\sqrt{14 \cdot 7 \cdot 11}} = \frac{28}{\sqrt{2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11}} = \frac{28}{7\sqrt{22}} = \frac{4}{\sqrt{22}} = \frac{4\sqrt{22}}{22} = \frac{2\sqrt{22}}{11}$

(4) 平行四辺形の面積を求める。

平行四辺形の面積 $S = ||\vec{x}|| \cdot ||\vec{x'}|| \cdot \sin\theta = \sqrt{||\vec{x}||^2 \cdot ||\vec{x'}||^2 - (\vec{x}, \vec{x'})^2}$

$S = \sqrt{14 \cdot 77 - 28^2} = \sqrt{1078 - 784} = \sqrt{294} = \sqrt{49 \cdot 6} = 7\sqrt{6}$

(5) 外積 $\vec{x} \times \vec{x'}$ を求める。

$\vec{x} \times \vec{x'} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-6) - (-1) \cdot 5 \\ (-1) \cdot 4 - 3 \cdot (-6) \\ 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 5 \\ -4 + 18 \\ 15 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ 7 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

内積: $(\vec{x}, \vec{x'}) = 28$

長さ: $||\vec{x}|| = \sqrt{14}$, $||\vec{x'}|| = \sqrt{77}$

$\cos\theta = \frac{2\sqrt{22}}{11}$

平行四辺形の面積: $7\sqrt{6}$

外積: $\vec{x} \times \vec{x'} = \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ 7 \end{pmatrix}$