与えられた式 $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

## 問題 (2) の回答

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると因数分解できそうに見えませんが、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$ という形を利用して、平方の差に持ち込むことを考えます。

まず、$x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ に $9x^2y^2$ を加えて、$9x^2y^2$ を引くと、

$x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2$

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ は $(x^2 + y^2)^2$ と変形できるので、

$(x^2 + y^2)^2 - 9x^2y^2$ となります。

$9x^2y^2$ は $(3xy)^2$ と書けるので、これは平方の差の形 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ が使えます。

$(x^2 + y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2 + y^2 + 3xy)(x^2 + y^2 - 3xy)$

よって、$x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = (x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)$

## 問題 (3) の回答

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式も、一見すると因数分解できそうに見えませんが、$4x^4 + 1$ に $4x^2$ を加えて、$4x^2$ を引くことで、平方の差に持ち込むことを考えます。

$4x^4 + 1 = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2$

$4x^4 + 4x^2 + 1$ は $(2x^2 + 1)^2$ と変形できるので、

$(2x^2 + 1)^2 - 4x^2$ となります。

$4x^2$ は $(2x)^2$ と書けるので、これは平方の差の形 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ が使えます。

$(2x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x)$

よって、$4x^4 + 1 = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$